{"id":13877,"date":"2021-02-17T16:44:00","date_gmt":"2021-02-17T21:44:00","guid":{"rendered":"https:\/\/mathemalchemy.org\/2021\/02\/17\/si-se-le-dan-simetrias-a-un-raton\/"},"modified":"2025-05-09T07:49:52","modified_gmt":"2025-05-09T11:49:52","slug":"si-se-le-dan-simetrias-a-un-raton","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathemalchemy.org\/es\/2021\/02\/17\/si-se-le-dan-simetrias-a-un-raton\/","title":{"rendered":"Si se le dan simetr\u00edas a un rat\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Por amor a la simetr\u00eda : Artes de la fibra<\/h3>\n\n

Perm\u00edtame empezar, de forma un tanto circular, cit\u00e1ndome a m\u00ed misma: <\/p>\n\n

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\u00abMe gusta la simetr\u00eda. O, para ser m\u00e1s precisa, me gustan las simetr\u00edas<\/em>. <\/p>\n\n\n\n

Ver\u00e1, soy matem\u00e1tica, y los matem\u00e1ticos encuentran patrones por todas partes. No podemos evitarlo. No s\u00f3lo admiramos las cosas que son sim\u00e9tricas, sino que nos preguntamos c\u00f3mo son sim\u00e9tricas. \u00bfPor el reflejo de un espejo, como una cara? \u00bfPor rotaci\u00f3n, como un rehilete? \u00bfPor una traslaci\u00f3n (repetici\u00f3n en l\u00ednea recta), como una fila de soldaditos de juguete? \u00bfPor un reflejo con deslizamiento, como las huellas en la arena?\u00bb. <\/p>\n<\/blockquote>\n\n

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\"Bufanda
Bufanda cristalina <\/em>de Susan Goldstine<\/a>, 2016.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

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Este texto es el comienzo de un descarado ejercicio de contrabando de las matem\u00e1ticas superiores en el mundo en general: el patr\u00f3n de bufanda, Cristalino, <\/em><\/a>con el que colabor\u00e9 en la revista de punto en l\u00ednea Knitty<\/em><\/a>. (El patr\u00f3n sigue estando disponible gratuitamente para cualquier tejedora interesada). <\/em>En los \u00faltimos a\u00f1os, cada vez me absorbe m\u00e1s la representaci\u00f3n de distintas estructuras de simetr\u00eda en diversas artes de la fibra: punto, bordado, cuentas, etc. Las matem\u00e1ticas subyacentes son fascinantes y a menudo interact\u00faan con cada manualidad de formas sutiles. Adem\u00e1s, siempre es agradable cuando se puede demostrar una proposici\u00f3n matem\u00e1tica con una bufanda. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Generando simetr\u00edas<\/h2>\n\n

Pergamino del Friso Fundamental II<\/em><\/h3>\n\n

Para tener una visi\u00f3n m\u00e1s clara de las distintas simetr\u00edas, veamos un artefacto tejido m\u00e1s reciente, el colgante de pared de encaje de cuentas Pergamino de friso fundamental II<\/em>, representado y diagramado aqu\u00ed. <\/p>\n\n

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Pergamino del Friso Fundamental II<\/em> de Susan Goldstine<\/a>, 2018.<\/figcaption><\/figure>\n\n

Lo dise\u00f1\u00e9 para explicar mejor los patrones de simetr\u00eda, utilizando puntos y l\u00edneas de cuentas para marcar las simetr\u00edas en los siete dise\u00f1os de encaje. Cada dise\u00f1o tiene una simetr\u00eda de traslaci\u00f3n<\/a>, lo que significa que se repite una y otra vez en una \u00fanica direcci\u00f3n, y el resto de simetr\u00edas se aplican al patr\u00f3n te\u00f3rico que sigue repiti\u00e9ndose eternamente en ambos extremos, saliendo del pergamino hasta el infinito. Los matem\u00e1ticos llaman a tales dise\u00f1os patrones de friso y catalogan cada posible estructura de simetr\u00eda como un grupo de friso<\/a>. <\/strong>Las l\u00edneas blancas marcan los ejes de reflexi\u00f3n<\/a>: si refleja el patr\u00f3n a trav\u00e9s de una l\u00ednea blanca, la forma del dise\u00f1o permanece inalterada. Las l\u00edneas amarillas marcan los ejes de reflexi\u00f3n con deslizamiento<\/a>: aqu\u00ed, un reflejo a trav\u00e9s de la l\u00ednea desplaza el dise\u00f1o, pero si lo desliza (traslada) ligeramente a lo largo del eje amarillo, puede restaurar su aspecto original. En cada cuenta azul, una rotaci\u00f3n<\/a> de media vuelta centrada en la cuenta conserva el dise\u00f1o. <\/p>\n\n

Sabemos desde hace tiempo que hay exactamente siete estructuras de simetr\u00eda diferentes que puede tener un patr\u00f3n de friso; son los siete grupos de frisos. Friso Fundamental Pergamino II<\/em> es un completo muestrario de simetr\u00eda<\/a>, que contiene un dise\u00f1o para cada uno de los grupos de simetr\u00eda. Mientras tanto, el pa\u00f1uelo Cristalino<\/em> exhibe algunos de los grupos de papel tapiz<\/a> estrechamente relacionados, que describen las simetr\u00edas de los motivos que se repiten en dos direcciones independientes, llenando todo el plano como alguien con tiempo ilimitado podr\u00eda empapelar una habitaci\u00f3n infinita. Hay diecisiete grupos de papel tapiz, pero s\u00f3lo nueve de ellos encajan en la cuadr\u00edcula rectangular no cuadrada del punto doble, y \u00e9stos son los nueve representados en Cristalino<\/em>. <\/p>\n\n

El Friso Fundamental Pergamino II <\/em>utiliza un m\u00e9todo muy particular para construir los distintos tipos de simetr\u00eda. En la bufanda, fui un poco m\u00e1s ad hoc, aprovechando las simetr\u00edas naturales de los corazones (reflejos), las vides (reflejos con deslizamiento) y las volutas (rotaciones) al realizar cada uno de los grupos de papel tapiz. Pero como puede ver en el diagrama adjunto, cada dise\u00f1o de friso del tapiz se construye a partir del mismo bloque asim\u00e9trico de encaje. Las simetr\u00edas se forman aplicando las transformaciones que queramos a ese \u00fanico motivo. \u00c9sta es una t\u00e9cnica muy poderosa, y funciona con cualquier motivo que no tenga simetr\u00edas internas. <\/p>\n\n

Simetr\u00edas de rat\u00f3n<\/h2>\n\n

En las primeras fases de MatemAlquimia, cuando Dominique e Ingrid pidieron historias para tejer en la instalaci\u00f3n, pens\u00e9 inmediatamente que ser\u00eda divertido crear una especie de cacer\u00eda de simetr\u00edas esparciendo por la exposici\u00f3n distintos tipos de simetr\u00eda producidos por un motivo com\u00fan.<\/p>\n\n

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Empec\u00e9 a esbozar distintos motivos en mi ordenador, pero no ten\u00eda suerte a la hora de encontrar un bloque geom\u00e9trico que fuera f\u00e1cil de reconocer, funcionara con distintos \u00e1ngulos de rotaci\u00f3n y diera dise\u00f1os est\u00e9ticamente atractivos. Y entonces se me ocurri\u00f3: \u00bfy si en lugar de utilizar formas abstractas, hac\u00eda una forma reconocible? Nuestra imaginaci\u00f3n colectiva ya estaba dando vueltas a varias criaturas del bosque. \u00bfY ratones? <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Un primer esbozo de posibles motivos de rat\u00f3n.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
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\"Gráfico
El gr\u00e1fico de punto para la pared de la panader\u00eda.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Cuando el equipo de MatemAlquimia traz\u00f3 el mapa de nuestro reino imaginario, los ratones convergieron en la fuente central de alimentos, la panader\u00eda. Naturalmente, me interesaban los dise\u00f1os que se pod\u00edan tejer, as\u00ed que dise\u00f1\u00e9 papel tapiz de rat\u00f3n (!) para la pared lateral de la panader\u00eda. Como puede ver en el gr\u00e1fico de aqu\u00ed, hay nueve dibujos en la pared, que corresponden a los mismos nueve grupos que en Cristalino<\/em>. La pared se teje muy despacio con agujas muy peque\u00f1as; en una estimaci\u00f3n aproximada, el tiempo de tejido es de una hora por rat\u00f3n. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Hay otros tres grupos de papeles pintados que no encajan bien en la pared porque los puntos no son cuadrados. Sin embargo, el bordado de punto de cruz contado utiliza una cuadr\u00edcula cuadrada, y nuestro equipo tiene varios practicantes. A medida que se desarrollaba el plan para el barrio de la panader\u00eda, decidimos que la tienda de curiosidades podr\u00eda necesitar unas alfombras decorativas para el exterior. Mary Williams<\/a> y yo adaptamos el dise\u00f1o del rat\u00f3n a punto de cruz contado, y Mary, Ingrid Daubechies<\/a> y Kathy Peterson se pusieron a coserlas. Si inspeccionas cada dise\u00f1o, podr\u00e1s detectar algunas de las simetr\u00edas rotacionales de 90\u00b0 que aprovechan la cuadratura de los puntos. <\/p>\n\n