{"id":13921,"date":"2021-02-02T18:00:00","date_gmt":"2021-02-02T23:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/mathemalchemy.org\/2021\/02\/02\/arcos-de-pelotas-convergentes-y-divergentes\/"},"modified":"2025-05-10T18:29:20","modified_gmt":"2025-05-10T22:29:20","slug":"arcos-de-pelotas-convergentes-y-divergentes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathemalchemy.org\/es\/2021\/02\/02\/arcos-de-pelotas-convergentes-y-divergentes\/","title":{"rendered":"Arcos de pelotas convergentes y divergentes"},"content":{"rendered":"\n

Dos Arcos de Pelotas sobre MatemAlquimia<\/h2>\n\n

Cuando vio MatemAlquimia por primera vez, \u00bfqu\u00e9 fue lo que m\u00e1s le llam\u00f3 la atenci\u00f3n? Supongo que los dos arcos que muestran pelotas (esferas) de diferentes tama\u00f1os. Aunque las esferas de ambos arcos se hacen arbitrariamente peque\u00f1as, las esferas de un arco se extienden indefinidamente, chocando contra el oc\u00e9ano y precipit\u00e1ndose en sus profundidades. Las esferas del otro arco se aproximan a un \u00fanico punto en el espacio: ese arco no crece sin l\u00edmites. <\/p>\n\n

Estos arcos sirven al prop\u00f3sito art\u00edstico de a\u00f1adir color a los elementos verticales de la pieza. En las primeras versiones del proyecto, eran importantes porque atra\u00edan la mirada hacia el punto m\u00e1s alto del lado este de la obra. Los arcos siguen sirviendo de conexi\u00f3n f\u00edsica entre la p\u00e1gina que honra a cinco mujeres matem\u00e1ticas y el oc\u00e9ano circundante, pero tambi\u00e9n comunican un principio fundamental de las matem\u00e1ticas. <\/p>\n\n

Secesiones y series<\/h2>\n\n
\n
\n
\n

Figura 1: Sucesi\u00f3n de sumas parciales<\/h3>\n\n\n\n
\"Principio
Este ejemplo muestra que.9999…<\/span><\/span> es igual a 1.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
\n

El principio matem\u00e1tico que subyace a estos arcos es el de las sucesioness<\/em> y series<\/em>. Si pensamos en una sucesi\u00f3n de n\u00fameros, normalmente imaginamos una lista infinita de n\u00fameros. Podemos crear una segunda sucesi\u00f3n, llamada sucesi\u00f3n de sumas parciales, creando un total de la suma de los n\u00fameros de la primera sucesi\u00f3n. La suma de una sucesi\u00f3n (su serie) puede ser finita (convergente) o no(divergente<\/a>). <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Arco de Pelotas Convergente<\/h2>\n\n
\n
\n

En primer lugar, centr\u00e9monos en el arco corto, que llamamos arco convergente. Considere la lista de di\u00e1metros de las esferas en orden decreciente, empezando por la esfera mayor. Esta lista comprende la sucesi\u00f3n que nos interesa. Construimos este arco eligiendo una serie correspondiente que sab\u00edamos que converg\u00eda. Es decir, sab\u00edamos que la suma de los t\u00e9rminos era finita. Escalamos los t\u00e9rminos para que el arco tuviera la longitud que dese\u00e1bamos. <\/p>\n\n\n\n

\"Sucesión<\/a>
Sucesi\u00f3n convergente en naranja y su sucesi\u00f3n de sumas parciales en negro.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
\n
\"Arco
Arco convergente que aparece en la maqueta de Dominique Ehrmann<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

En otras palabras, trabajamos hacia atr\u00e1s: hicimos que la primera esfera tuviera un di\u00e1metro igual al primer t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n, que la segunda esfera tuviera un di\u00e1metro igual al segundo t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n, y as\u00ed sucesivamente. R\u00e1pidamente, despu\u00e9s de s\u00f3lo 23 esferas, \u00a1los di\u00e1metros de las esferas son inferiores a una pulgada! Por tanto, la longitud del arco crece muy lentamente. Como te\u00f3ricamente hay un n\u00famero infinito de esferas en este arco, s\u00f3lo pudimos incluir una parte del arco. No obstante, el espectador puede hacerse una buena idea de su longitud total a partir de lo que se muestra. <\/p>\n\n

\n
\n

Figura 2: Ilustraci\u00f3n del principio de convergencia<\/h3>\n\n\n\n
\"Principio<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
\n

El ejemplo de la figura 1 muestra que incluso una suma infinita de n\u00fameros puede llegar a ser finita. Para una ilustraci\u00f3n visual del mismo principio (utilizando una suma diferente), mire la figura 2. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

\n
\n

Observe que en la figura 3, vemos que cada color comprende 1\/4 de la figura en la primera etapa de coloreado. Podemos intuir entonces que en la siguiente fase de coloraci\u00f3n cada color comprende 1\/4 del 1\/4 restante o 1\/16 de la figura total, y as\u00ed sucesivamente. <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n

Figura 3: Primera etapa de la convergencia<\/h3>\n\n\n\n
\"\"
Cada color comprende 1\/4 de la figura en la primera fase de coloreado<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Esto nos lleva a la serie:<\/p>\n\n

\nC<\/i> =\n\n\u221e<\/span>\n\u2211<\/span>\nn=1<\/i><\/span>\n<\/span>\n
\n1<\/span>\n\/<\/span>\n4n<\/i><\/sup><\/span>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Podemos ver que la suma de esta serie es 1\/3, ya que las tres regiones coloreadas son congruentes y abarcan toda la figura.<\/p>\n\n

\u00bfQu\u00e9 tipos de visualizaciones ha hecho la gente para las series convergentes? \u00bfSe le ocurren nuevas visualizaciones? <\/p>\n\n

Arco de Pelotas Divergente<\/h2>\n\n
\n
\n

Pasemos ahora al arco largo, que llamamos arco divergente. Los di\u00e1metros de las esferas siguen decreciendo hacia cero, pero el tama\u00f1o del di\u00e1metro no se reduce tan r\u00e1pidamente como en el caso del arco convergente. Escalamos esta serie para que el primer t\u00e9rmino sea el mismo que para el arco convergente, de modo que compartan la misma primera esfera. <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n
\"Arco
Arco divergente que aparece en la maqueta de Dominique Ehrmann<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
\n
\n
\"Sucesión<\/a>
Sucesi\u00f3n divergente en naranja y su sucesi\u00f3n de sumas parciales en negro.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
\n

Al igual que el arco convergente, este arco contiene te\u00f3ricamente un n\u00famero infinito de esferas, pero s\u00f3lo podemos incluir un n\u00famero finito. Sin embargo, la longitud de este arco es infinita, o as\u00ed deber\u00edamos imaginarlo. (Un arco infinitamente largo no cabr\u00eda dentro de nuestro mundo). <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Uno de los aspectos m\u00e1s bellos de las matem\u00e1ticas es c\u00f3mo la imaginaci\u00f3n entra en juego de forma natural a medida que nos adentramos en el \u00e1mbito te\u00f3rico.<\/p>\n\n

Principio de convergencia de series geom\u00e9tricas en v\u00eddeo<\/h3>\n\n
\n
\n

\u00bfEntiende usted franc\u00e9s? Este v\u00eddeo de Youtube sobre series geom\u00e9tricas convergentes est\u00e1 muy bien hecho e ilustra este concepto. <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n
\n