Lumière sur… les projections stéréographiques

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A propos de Mathemalchemy

Bonjour, je suis Henry Segerman,

Depuis un an, je travaille avec une équipe de 24 autres mathématiciens et artistes en mathématiques pour créer une grande installation artistique multimédia célébrant la créativité et la beauté des mathématiques. Le projet est dirigé par Ingrid Daubechies, mathématicienne à l’université de Duke, et Dominique Ehrmann, artiste textile basée au Canada.

Tout a commencé lorsque Ingrid a vu l’installation de Dominique « Time to Break Free« , dans laquelle une sorte de « machine » transforme les figures plates d’une courtepointe en personnages entièrement tridimensionnels.

Ingrid s’est alors demandé s’il était possible de donner vie à la beauté et à la créativité des idées mathématiques de la même manière.

Ingrid et Dominique ont fait une présentation à la conférence Joint Mathematics Meetings en janvier 2020, et un groupe s’est formé autour du projet, baptisé « Mathemalchemy », qui compte aujourd’hui 24 mathématiciens et artistes.

Voici la maquette actuelle à l’échelle 1/4 de l’installation – une île magique remplie de scènes fantaisistes, fabriquée à l’aide des techniques et matériaux:

L’exposition MathémAlchimie sera installée en permanence à l’université de Duke, après être partie en tournée, avec des arrêts prévus à la National Academy of Sciences à Washington DC, ainsi qu’à l’international (sauf éventuelles perturbations dues à la pandémie).

Projection stéréographique

L’une des scènes mathématiques auxquelles j’ai participé est celle du phare. Le sommet du phare sera doté de deux lumières, l’une projetée horizontalement depuis un dodécaèdre en vitrail réalisé par Bronna Butler, et l’autre projetée vers le plafond.

Il s’agit de la reprise d’un ancien projet illustrant ce que l’on appelle la projection stéréographique. La projection stéréographique est une représentation de la sphère sur le plan. Ainsi, tout comme la carte de Mercator permet de représenter les continents du globe sur une feuille de papier plane, la projection stéréographique est un autre moyen d’y parvenir.

Dans le modèle, le rayon lumineux part du pôle nord de la sphère, se propage à l’intérieur de la sphère, traverse la sphère vers l’extérieur et continue ensuite son chemin jusquà atteindre le plan.

Ainsi les rayons lumineux repésente cette transformation, qui fait correspondre là ou la lumière traverse la sphère et là ou elle traverse le plan.

Il suffit de regarder les ombres pour se rendre compte de l’effet de la projection stéréographique. Par exemple, les triangles du milieu du plan sont à peu près de la même taille que les triangles de la sphère elle-même, mais au fur et à mesure que l’on s’éloigne, ils commencent à devenir de plus en plus grands. On voit ici beaucoup d’autres caractéristiques intéressantes de la projection stéréographique, par exemple les angles sont préservés. Tous les angles de quatre-vingt-dix, soixante degrés et ainsi de suite sur la sphère forment aussi des angles d’ombres de quatre-vingt-dix et soixante degrés. De même, les cercles correspondent à d’autres cercles. Il existe tous ces grands cercles sur la sphère qui s’associent à des cercles sur le plan.

L’ombre est très sensible à la position de la lumière par rapport à la sphère, mais elle n’est pas très sensible à la position de la table. Ainsi, si j’éloigne la sphère et la lumière de la table, tout ce qui se passe, c’est que l’ombre s’agrandit, sans que l’image ne change pour autant. C’est une bonne chose pour nous, car le phare éclairera vers le haut, projetant les ombres sur le plafond, et comme l’installation se fera dans de nombreux endroits différents, il n’y a aucun moyen de savoir quelle sera la hauteur du plafond.

Nous avons prévu une deuxième version au cas où cela s’avérerait nécessaire. Si le plafond est trop haut dans une salle, les motifs risquent d’être trop agrandis, et la majeure partie des motils sera projetée sur les murs et non le plafond. Les motifs serait toujours visibles, mais les ombres sur les murs n’aurait pas toutes les propriétés agréables de la projection stéréographique. Dans ce cas, nous prévoyons de réutiliser une autre œuvre d’art d’ombre de lumière, qui projette le modèle du disque de Poincaré du plan hyperbolique sur un disque. Ce motif n’utilise qu’un cône de lumière de 90 degrés, qui se projette sur une zone plus petite, au lieu des 180 degrés utilisés dans la projection stéréographique de la sphère complète.

Voilà, c’est la sphère au sommet du phare. L’assemblage des parties de l’installation construites indépendamment les unes des autres doit avoir lieu en juillet de cette année – avec un peu de chance, il y en aura d’autres !