{"id":10739,"date":"2022-01-11T14:21:21","date_gmt":"2022-01-11T19:21:21","guid":{"rendered":"https:\/\/mathemalchemy.org\/?p=10739"},"modified":"2024-11-03T16:19:13","modified_gmt":"2024-11-03T21:19:13","slug":"envolees-spheriques-connexions-mathematiques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathemalchemy.org\/fr\/2022\/01\/11\/envolees-spheriques-connexions-mathematiques\/","title":{"rendered":"Envol\u00e9es sph\u00e9riques – Connexions math\u00e9matiques"},"content":{"rendered":"\n
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Envol\u00e9es sph\u00e9riques<\/h2>\n\n\n\n

Connexions math\u00e9matiques<\/h3>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
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Si vous \u00eates \u00e0 l’exposition…<\/summary>
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L’histoire<\/h4>\n\n\n\n

Deux envol\u00e9es sph\u00e9riques \u00ab\u00a0infinies\u00a0\u00bb jaillissent de la grande page du gribouillage<\/a> et encerclent l’exposition. L’une d’entre elles s’\u00e9l\u00e8ve vers le ciel et dispara\u00eet de notre vue, repr\u00e9sentant une s\u00e9rie convergente<\/em>. L’autre plonge profond\u00e9ment dans la baie, repr\u00e9sentant une s\u00e9rie divergente<\/em>. Si les envol\u00e9es avaient vraiment un nombre infini de sph\u00e8res, la longueur de la s\u00e9rie convergente serait finie, tandis que la longueur de la s\u00e9rie divergente serait infinie.<\/p>\n\n\n\n

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Regardez de plus pr\u00e8s… Que voyez-vous?<\/summary>
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Les envol\u00e9es sont parsem\u00e9es de sph\u00e8res brod\u00e9es de motifs g\u00e9om\u00e9triques. Ces boules brod\u00e9es sont issues d’une forme d’art populaire japonais appel\u00e9e le temari<\/em>. Pouvez-vous d\u00e9tecter la relation num\u00e9rique qui d\u00e9termine quelles boules sont temari<\/em>?<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Concentrez-vous sur les… premiers jumeaux<\/summary>
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En comptant vers l’ext\u00e9rieur \u00e0 partir de la plus grosse boule de chaque envol\u00e9e, les temari<\/em> repr\u00e9sentent des nombres premiers qui vont par paires. Ces paires, appel\u00e9es nombres premiers jumeaux<\/em>, sont s\u00e9par\u00e9es num\u00e9riquement par une valeur de 2. Les boules 3 et 5, les boules 5 et 7 et les boules 11 et 13 constituent les trois premi\u00e8res paires.<\/p>\n\n\n\n

Les math\u00e9maticiens pensent qu’il existe une infinit\u00e9 de nombres premiers jumeaux, bien que cela n’ait pas encore \u00e9t\u00e9 d\u00e9finitivement prouv\u00e9.<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Arches convergente et divergente<\/summary>
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Les deux envol\u00e9es<\/a> repr\u00e9sentent la diff\u00e9rence entre une s\u00e9rie convergente et une s\u00e9rie divergente. La plus courte des deux est convergente ; elle correspond \u00e0 une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique o\u00f9 chaque sph\u00e8re a un diam\u00e8tre qui est une fraction constante du diam\u00e8tre pr\u00e9c\u00e9dent (plus grand). La somme de tous les diam\u00e8tres (la longueur de l\u2019envol\u00e9e) est finie ; l\u2019envol\u00e9e convergente s\u2019arr\u00eate \u00e0 une distance finie de son point de d\u00e9part, m\u00eame si le nombre de sph\u00e8res est infini (celles pr\u00e8s de son extr\u00e9mit\u00e9 deviennent trop petites pour \u00eatre visibles).<\/p>\n\n\n\n

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S\u00e9ries convergentes sur Desmos<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
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Dans l\u2019envol\u00e9e divergente, le rapport entre le (n+1)<\/em>\u00e8me diam\u00e8tre et le n\u00e8me<\/em> est (n\/(n+1))^{\u2154}<\/sup>. Bien que chaque sph\u00e8re ait un diam\u00e8tre strictement inf\u00e9rieur \u00e0 la pr\u00e9c\u00e9dente, la d\u00e9croissance est si lente que la s\u00e9rie diverge.<\/p>\n\n\n\n

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S\u00e9ries divergentes sur Desmos<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
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Cette envol\u00e9e, si elle se poursuivait \u00e9ternellement, traverserait les \u00e9tages inf\u00e9rieurs, la Terre, le syst\u00e8me solaire, notre galaxie et m\u00eame des milliards d\u2019autres galaxies \u2013 elle serait infiniment longue. En r\u00e9alit\u00e9, nous la perdons de vue, car elle dispara\u00eet sous les eaux de la baie.<\/p>\n\n\n\n

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Nombres premiers<\/summary>
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Toutes les sph\u00e8res ne sont pas orn\u00e9es de broderies. Dans chacune des envol\u00e9es, on peut les num\u00e9roter depuis le d\u00e9part. La plus grosse sph\u00e8re (en partie ensevelie) est la 1, suivie de la 2 (qui a la m\u00eame taille dans les deux arches), puis de la 3 (d\u00e9j\u00e0 un peu plus petite dans l\u2019arche convergente que dans l\u2019arche divergente), etc. Avec cette num\u00e9rotation, il est facile de v\u00e9rifier qu\u2019on a seulement brod\u00e9 les boules portant les num\u00e9ros 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71 et 73. Nous ne pouvons distinguer que les 100 premi\u00e8res sph\u00e8res dans l\u2019envol\u00e9e divergente (dans l\u2019envol\u00e9e convergente, nous en voyons nettement moins ; sa 100e sph\u00e8re mesure moins de 0,000\u20094 pouce, elle est invisible) ; si nous pouvions voir sous la surface de l\u2019eau, il se r\u00e9v\u00e9lerait que les sph\u00e8res 101 et 103 sont \u00e9galement brod\u00e9es. Toutes les boules brod\u00e9es correspondent \u00e0 des nombres premiers jumeaux, c\u2019est-\u00e0-dire des paires de nombres premiers qui ne sont s\u00e9par\u00e9s que de 2, comme illustr\u00e9 dans la figure.<\/p>\n\n\n\n

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Il est important de noter que ces arrangements de nombres en spirale, commun\u00e9ment appel\u00e9s spirales d’Ulam<\/a>, r\u00e9v\u00e8lent des propri\u00e9t\u00e9s tr\u00e8s int\u00e9ressantes et encore peu comprises de la r\u00e9partition des nombres premiers. \u00c0 des \u00e9chelles beaucoup plus grandes, on observe des lignes et des courbes, qui contiennent des nombres premiers beaucoup plus souvent qu\u2019ailleurs. La plupart des math\u00e9maticiens croient qu\u2019un nombre infini de nombres premiers jumeaux existe, une affirmation qui n\u2019a pas encore \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e en 2024. <\/p>\n\n\n\n

Un r\u00e9sultat r\u00e9volutionnaire, obtenu en 2014 par Zhang, prouve qu\u2019il existe une infinit\u00e9 de paires de nombres premiers dont l\u2019\u00e9cart est au plus \u00e9gal \u00e0 un certain nombre fini N. Au d\u00e9part, les valeurs de N qui permettaient d\u2019obtenir une preuve irr\u00e9futable \u00e9taient tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9es ; mais un effort math\u00e9matique collaboratif<\/a> a permis de ramener la valeur \u00e0 N=246. En novembre 2024, l\u2019\u00e9nigme des nombres premiers jumeaux, associ\u00e9e \u00e0 N=2, demeure non r\u00e9solue.<\/p>\n\n\n\n

\"Envol\u00e9es<\/figure>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n
Solides de Catalan<\/summary>
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Les motifs brod\u00e9s sur les sph\u00e8res s\u2019inspirent des solides de Catalan, une famille de poly\u00e8dres sp\u00e9ciaux diff\u00e9rents des solides de Platon, d\u2019Archim\u00e8de et de Johnson illustr\u00e9s autre part dans l\u2019installation. (Il existe cependant une relation entre eux : les solides de Catalan sont des duaux des solides archim\u00e9diens). Tout comme ces trois familles, les poly\u00e8dres de Catalan sont convexes ; toutefois, contrairement \u00e0 elles, leurs faces ne sont pas elles-m\u00eames des polygones r\u00e9guliers. Chaque solide de Catalan se distingue par le fait que toutes ses faces sont des polygones identiques (contrairement aux poly\u00e8dres de Johnson ou m\u00eame aux poly\u00e8dres d\u2019Archim\u00e8de). Il y a 13 solides de Catalan. Chacun d\u2019entre eux est illustr\u00e9 par un (ou deux) motifs qui ornent les 15 sph\u00e8res brod\u00e9es visibles dans l\u2019envol\u00e9e divergente. Leurs petites s\u0153urs, dans l\u2019envol\u00e9e convergente, arborent le m\u00eame motif, mais avec une permutation des couleurs de broderie.<\/p>\n\n\n\n

Ce tableau met en \u00e9vidence le lien entre les solides de Catalan et la broderie temari. Les deux derni\u00e8res boules brod\u00e9es (71 et 73) r\u00e9p\u00e8tent les solides de Catalan pr\u00e9c\u00e9demment illustr\u00e9s.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div><\/div><\/details><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
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En savoir plus sur les envol\u00e9es sph\u00e9riques<\/h3>\n\n\n
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Envol\u00e9es sph\u00e9riques – Fabrication<\/a><\/h3>\n\t\t\t\t\t\t
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Envol\u00e9es sph\u00e9riques – Connexions math\u00e9matiques<\/a><\/h3>\n\t\t\t\t\t\t
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Envol\u00e9es sph\u00e9riques – \u00c0 travers le miroir Math\u00e9mAlchimique<\/a><\/h3>\n\t\t\t\t\t\t
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Envol\u00e9es de boule convergentes et divergentes<\/a><\/h3>\n\t\t\t\t\t\t
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