{"id":10743,"date":"2020-12-17T17:19:34","date_gmt":"2020-12-17T22:19:34","guid":{"rendered":"https:\/\/mathemalchemy.org\/?p=10743"},"modified":"2024-09-24T22:43:36","modified_gmt":"2024-09-25T02:43:36","slug":"nombres-premiers-dans-le-jardin","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathemalchemy.org\/fr\/2020\/12\/17\/nombres-premiers-dans-le-jardin\/","title":{"rendered":"Nombres premiers dans le jardin"},"content":{"rendered":"\n

Lorsque les gens me demandent ce qu’est la th\u00e9orie des nombres (mon domaine de recherche), nous finissons invariablement par parler des nombres premiers. Lorsqu’ils me demandent ce que j’aime dans mon domaine, je leur dis que j’aime retrouver des motifs et faire des liens – quelque chose que j’aime dans toutes les math\u00e9matiques – et que la th\u00e9orie des nombres en particulier pose des probl\u00e8mes simples \u00e0 comprendre, mais qui conduisent \u00e0 des th\u00e9ories profondes et complexes. Ces th\u00e8mes sont visibles dans les trois repr\u00e9sentations des nombres premiers dans le jardin.<\/p>\n\n\n\n

Les deux premi\u00e8res sc\u00e8nes<\/h2>\n\n\n\n

Les tamias d\u00e9couvrent les nombres premiers<\/h3>\n\n\n\n
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\u00c0 c\u00f4t\u00e9 de la colline, un couple d’\u00e9cureuils trie les nombres entiers en une pile de nombres premiers et une pile de nombres compos\u00e9s. Ils apprennent ce que cela signifie d’\u00eatre premier, et explorent peut-\u00eatre les nombres premiers pour la premi\u00e8re fois. (Tenez vous au courant pour en savoir plus sur cette sc\u00e8ne dans un prochain article de blog !)<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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\"\"
La toute premi\u00e8re conception de la sc\u00e8ne des nombres premiers a \u00e9t\u00e9 propos\u00e9e lors de la conf\u00e9rence JMM de 2020.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Des \u00e9cureuils malins et le crible d’Eratosth\u00e8ne<\/a> <\/h3>\n\n\n\n
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\"Crible<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Au milieu du jardin, quelques \u00e9cureuils adoptent une approche un peu plus avanc\u00e9e. Au lieu de r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 chaque nombre un par un, ils utilisent le crible d’Eratosth\u00e8ne<\/a> pour trouver tous les nombres premiers en une seule fois. Ils ont d\u00e9j\u00e0 \u00e9limin\u00e9 les multiples de deux, trois et cinq. En outre, gr\u00e2ce \u00e0 leurs cribles translucides sp\u00e9ciaux, ils peuvent voir la factorisation des nombres compos\u00e9s, en se basant simplement sur la couleur – puisque le cribles correspondant aux multiples de 2 est rouge et que celui correspondant aux multiples de 3 est jaune, les multiples de 6 sont orange !<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

\"\"
\u00c9cureuils utilisant le crible d’Eratosth\u00e8ne pour trouver tous les nombres premiers en une seule fois.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Un chemin se dessine<\/h2>\n\n\n\n

Ces deux vignettes figuraient dans les tout premiers plans de notre installation – en fait, une version de la sc\u00e8ne de l’\u00e9cureuil faisait partie du tout premier projet propos\u00e9 par Ingrid<\/a> et Dominique<\/a> lors de la conf\u00e9rence JMM de 2020. J’\u00e9tais enthousiaste \u00e0 l’id\u00e9e de rejoindre le groupe du Jardin, en partie parce que c’est l\u00e0 que se trouvaient les nombres premiers.<\/p>\n\n\n\n

Lorsque la vision du jardin a commenc\u00e9 \u00e0 se pr\u00e9ciser en mars, j’ai demand\u00e9 si nous pouvions ajouter une ramification \u00e0 l’exploration des nombres premiers – un chemin de jardin montrant le crible d’Eratosth\u00e8nes pour les nombres entiers gaussiens<\/a>, \u00e9galement connus sous le nom de Z<\/strong>[i]. J’ai \u00e9t\u00e9 ravie de voir que tout le monde \u00e9tait d’accord !<\/p>\n\n\n\n

\"Pavage<\/figure>\n\n\n\n

Les nombres entiers de Gauss<\/h2>\n\n\n\n

Les nombres entiers de Gauss sont un analogue en nombres complexes des nombres entiers ordinaires : c’est l’ensemble des nombres complexes qui peuvent \u00eatre \u00e9crits comme a+bi<\/em>, o\u00f9 a et b sont des nombres entiers ordinaires. Tout comme les entiers plus familiers, certains entiers gaussiens peuvent \u00eatre factoris\u00e9s : par exemple, 3+i <\/em>= (1+2i<\/em>)(1-i<\/em>), ou 5 = (1+2i<\/em>)(1-2i<\/em>). D’autres, comme 1+2i<\/em>, 1-i<\/em> et 1-2i<\/em>, ne peuvent pas l’\u00eatre. Dans le chemin du jardin, chaque pav\u00e9 enl\u00e8ve des multiples d’un nombre entier de Gauss premier, de sorte que les nombres entiers de Gauss composites sont finalement \u00e9limin\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

La classification des nombres premiers dans Z<\/strong>[i] conduit \u00e0 des questions sur les nombres entiers qui peuvent \u00eatre \u00e9crits comme la somme de deux carr\u00e9s et bien d’autres choses encore ! Quels motifs observez-vous dans les nombres premiers de Z<\/strong>[i] ?<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Lorsque les gens me demandent ce qu’est la th\u00e9orie des nombres (mon domaine de recherche), nous finissons invariablement par parler des nombres premiers. Lorsqu’ils me demandent ce que j’aime dans mon domaine, je leur dis que j’aime retrouver des motifs et faire des liens – quelque chose que j’aime dans toutes les math\u00e9matiques – etLire la suite \u00ab\u00a0Nombres premiers dans le jardin\u00a0\u00bb<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":44503779,"featured_media":9104,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_coblocks_attr":"","_coblocks_dimensions":"","_coblocks_responsive_height":"","_coblocks_accordion_ie_support":"","_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":true,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_wpcom_ai_launchpad_first_post":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[6678],"tags":[7156,6785,6818,6843],"class_list":["post-10743","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-mathemalchemy-en-theories","tag-entiers-de-gauss","tag-jardin","tag-nombres-premiers","tag-tamis-deratosthanes","entry"],"yoast_head":"\nNombres premiers dans le jardin - Mathemalchemy<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Lorsque les gens me demandent ce qu'est la th\u00e9orie des nombres (mon domaine de recherche), nous finissons invariablement par parler des nombres premiers. 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