{"id":10788,"date":"2022-01-19T16:33:35","date_gmt":"2022-01-19T21:33:35","guid":{"rendered":"https:\/\/mathemalchemy.org\/?p=10788"},"modified":"2024-11-04T21:55:08","modified_gmt":"2024-11-05T02:55:08","slug":"cavalcade-connexions-mathematiques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathemalchemy.org\/fr\/2022\/01\/19\/cavalcade-connexions-mathematiques\/","title":{"rendered":"Cavalcade – Connexions math\u00e9matiques"},"content":{"rendered":"\n
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Cavalcade<\/h2>\n\n\n\n

Connexions math\u00e9matiques<\/h3>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\u00c0 propos de la cavalcade<\/h4>\n\n\n\n

La collection de feuilles est incroyablement diversifi\u00e9e : elle contient des figures int\u00e9ressantes ou belles, des anecdotes amusantes, des repr\u00e9sentations \u00e9tonnantes, ainsi que des documents historiques. Certaines d\u2019entre elles rendent hommage \u00e0 un math\u00e9maticien en particulier. Il faut noter que ces pages ne sont pas class\u00e9es selon un ordre math\u00e9matique, mais plut\u00f4t selon l\u2019ordre de leur cr\u00e9ation, qui d\u00e9pend principalement de leur compatibilit\u00e9 avec les tissus sur lesquels elles ont \u00e9t\u00e9 imprim\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019ordre dans lequel elles apparaissent dans l\u2019installation peut diff\u00e9rer selon le montage de l\u2019exposition. Lors de celui-ci, la disposition des feuilles s\u2019adapte aux angles visuels sp\u00e9cifiques \u00e0 chaque lieu.<\/p>\n\n\n\n

Voici une liste des feuilles, accompagn\u00e9e d\u2019une courte explication pour chacune d’entre elles.<\/p>\n\n\n\n

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Archim\u00e8de : Volume d’une sph\u00e8re<\/summary>
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\"Archim\u00e8de<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
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Les diagrammes de cette page pr\u00e9sentent une version modernis\u00e9e du calcul d\u2019Archim\u00e8de du volume d\u2019une sph\u00e8re. La r\u00e9alisation d\u2019Archim\u00e8de est d\u2019autant plus remarquable qu\u2019il a calcul\u00e9 ce volume il y a pr\u00e8s de deux mille ans, bien avant l\u2019av\u00e8nement du calcul infinit\u00e9simal, dans un contexte o\u00f9 les notions de z\u00e9ro et de nombres n\u00e9gatifs n’\u00e9taient pas encore accept\u00e9es.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Le raisonnement cl\u00e9 est que le volume de la sph\u00e8re combin\u00e9 \u00e0 celui du c\u00f4ne doit \u00eatre \u00e9gal \u00e0 celui du cylindre, car la m\u00eame relation s\u2019applique \u00e0 l\u2019aire de leurs sections transversales \u00e0 chaque hauteur. Le volume d\u2019un cylindre est donn\u00e9 par la formule \u03c0r2h<\/sup>= 2\u03c0r3<\/sup>, tandis que celui d\u2019un double c\u00f4ne (plus facile \u00e0 calculer) est de 2(1\/3)\u03c0r2h<\/sup>= (2\/3)\u03c0r3<\/sup>. En combinant ces deux formules, nous obtenons la formule moderne du volume d\u2019une sph\u00e8re, soit (4\/3)\u03c0r3<\/sup>.<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

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Diagrammes de factorisation<\/summary>
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Chaque nombre N, compris entre 1 et 100, correspond \u00e0 une figure qui contient N points, r\u00e9partis de mani\u00e8re sym\u00e9trique. Si N est un nombre compos\u00e9, N=KxL, la figure reprend les motifs des nombres plus petits K et L : on peut les reconna\u00eetre comme des \u00e9l\u00e9ments constitutifs de N. Les nombres premiers sont des simples cercles ; ils vont passer \u00e0 travers le crible d’Eratosth\u00e8ne<\/a> apr\u00e8s la mise en place du crible pour le nombre 7 dans le jardin de Math\u00e9mAlchimie<\/a> – comme l’explique Tassos l’\u00e9cureuil !<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Racines complexes des polyn\u00f4mes cubiques<\/summary>
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Cette image est un exemple de ciel \u00e9toil\u00e9 alg\u00e9brique, d\u00e9crit par Edmund Harriss, Kate Stange et Steve Trettel dans l\u2019article suivant \u201cAlgebraic Number Starscapes<\/a><\/em>\u201d. Ces motifs complexes illustrent la beaut\u00e9 de la r\u00e9solution des \u00e9quations polynomiales. Les points de cette image repr\u00e9sentent les racines complexes des polyn\u00f4mes cubiques ax3+bx2+cx+b= 0. Leur taille diminue \u00e0 mesure que le polyn\u00f4me devient plus complexe (bien que cela semble li\u00e9 \u00e0 l\u2019augmentation de a, b et c, il s\u2019agit en fait de la racine cubique du discriminant). Le point vers lequel toute l\u2019image semble converger est i, la racine carr\u00e9e de -1.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Groupe de papier peint de P\u00f3lya<\/summary>
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En 1924, George P\u00f3lya a publi\u00e9 un article dans Zeitschrift f\u00fcr Kristallographie dans lequel il d\u00e9montrait qu\u2019il existe exactement dix-sept groupes de papier peint. En d\u2019autres termes, si vous remarquez des motifs dans le plan qui se r\u00e9p\u00e8tent dans deux directions non parall\u00e8les, comme sur le mur de la boulangerie et sur celui de la galerie d\u2019art et de curiosit\u00e9s, ils pr\u00e9sentent tous l\u2019une des dix-sept structures de sym\u00e9trie diff\u00e9rentes. Cette figure, tir\u00e9e de son document, montre une image repr\u00e9sentative de chaque groupe de papier peint.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

\u00c0 l\u2019\u00e9poque, P\u00f3lya ne savait pas que Evgraf Federov avait d\u00e9j\u00e0 prouv\u00e9 ce th\u00e9or\u00e8me 33 ans auparavant. Toutefois, l\u2019article de 1924 a profond\u00e9ment marqu\u00e9 la culture math\u00e9matique. Au d\u00e9but de sa carri\u00e8re artistique, M.C. Escher a d\u00e9couvert l\u2019article de P\u00f3lya ainsi que son diagramme de classification, qui recoupait avec les explorations d\u2019Escher des pavages r\u00e9guliers du plan. Comme le documente Doris Schattschneider, math\u00e9maticienne et biographe d\u2019Escher, Escher a copi\u00e9 chacune des tuiles de P\u00f3lya dans ses carnets, les a \u00e9tudi\u00e9es attentivement et a \u00e9chang\u00e9es des lettres avec P\u00f3lya, dans lesquelles il transmet son admiration et sa reconnaissance.<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Page de notes du carnet d\u2019Henry<\/summary>
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Il s\u2019agit d\u2019une page de notes de Henry Segerman<\/a>, rapportant une discussion avec Saul Schleimer au sujet d\u2019une preuve, finalement publi\u00e9e dans l\u2019article \u201cEssential loops in taut ideal triangulations<\/em>\u201d, par Saul Schleimer et Henry Segerman, dans le journal Algebraic and Geometric Topology<\/em>, 20 (2020), no. 1, 487-501. L\u2019objectif est de d\u00e9montrer que, dans une vari\u00e9t\u00e9 tridimensionnelle avec une triangulation id\u00e9ale combinatoire (les surfaces en noir), certaines courbes de la surface (courbes normales, en vert) ne peuvent pas d\u00e9crire un disque dans la vari\u00e9t\u00e9. L\u2019argument s\u2019appuie sur la notion d\u2019indice d\u2019une surface, \u00e9troitement li\u00e9e \u00e0 la propri\u00e9t\u00e9 d\u2019Euler.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me Eur\u00eaka de Gauss consign\u00e9 dans son journal<\/summary>
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Cette page provient du journal math\u00e9matique de Gauss. On peut y voir la note sur l’observation qui sera appel\u00e9e le th\u00e9or\u00e8me Eur\u00eaka de Gauss. Ce th\u00e9or\u00e8me stipule que tout nombre entier positif peut \u00eatre exprim\u00e9 comme la somme de trois nombres triangulaires. Un nombre est triangulaire s\u2019il est possible de former un triangle \u00e9quilat\u00e9ral comptant ce m\u00eame nombre de points dans un r\u00e9seau triangulaire. Plus un triangle est grand, plus son nombre triangulaire est \u00e9lev\u00e9. Les 6 premiers nombres triangulaires sont 0,1,3,6,10,15.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Sur la feuille, on peut voir, \u00e9crite \u00e0 la main de Gauss,<\/p>\n\n\n\n

EYPHKA : num = \u0394 + \u0394 + \u0394<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Plan hyperbolique 2D-3D<\/summary>
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Cette feuille illustre plusieurs aspects du plan hyperbolique en une seule repr\u00e9sentation. De gauche \u00e0 droite, elle montre (en partie) un pavage du disque de Poincar\u00e9 par des triangles hyperboliques r\u00e9guliers, puis une subdivision de ce pavage en triangles hyperboliques plus petits, dont certains sont color\u00e9s en jaune pour g\u00e9n\u00e9rer un joli motif.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

\u00c0 droite, cette triangulation se transforme en une repr\u00e9sentation 3D, dont les triangles sont \u00e9gaux en taille euclidienne. Cela n\u00e9cessite une surface avec beaucoup de relief pour tous les loger \u2013 cela rappelle les mod\u00e8les au crochet de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique dans le Jardin<\/a> et le R\u00e9cif<\/a>.<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Suite de Farey et cercles d\u2019Apollonius<\/summary>
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\"Suites<\/figure>\n\n\n\n

La suite de Farey d\u2019ordre N est la collection lin\u00e9airement ordonn\u00e9e des fractions de type p\/q<\/em>, dans lesquelles p <\/em>et q<\/em> sont des entiers positifs premiers entre eux, avec p compris entre 1 et q<\/em>-1, et q ne d\u00e9passant pas N<\/em>. Les suites de Farey poss\u00e8dent des propri\u00e9t\u00e9s math\u00e9matiques \u00e9tonnamment sophistiqu\u00e9es pour des objets aussi ordinaires. La figure de la feuille illustre les relations entre les suites de Farey de petit ordre et les cercles d\u2019Apollonius remplissant l\u2019espace entre les deux cercles de rayon \u00bd et de centres respectifs (0, \u00bd) et (1, \u00bd).<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Souris illustrant le groupe di\u00e9dral<\/summary>
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Un groupe di\u00e9dral correspond au groupe des op\u00e9rations de sym\u00e9trie sur un polygone r\u00e9gulier \u00e0 n c\u00f4t\u00e9s. Autrement dit, il s\u2019agit d\u2019un syst\u00e8me arithm\u00e9tique construit \u00e0 partir des 2n<\/em> fa\u00e7ons diff\u00e9rentes de tourner et de r\u00e9fl\u00e9chir le n-gon<\/em>. Dans ce syst\u00e8me, nous pouvons combiner des paires de mouvements, tout comme nous pouvons, par exemple, additionner des paires de nombres.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Cette feuille (ou plut\u00f4t cette collection de petites feuilles) illustre concr\u00e8tement l\u2019action des sym\u00e9tries du groupe di\u00e9dral du carr\u00e9. Il est appel\u00e9 D4<\/em> par certains (les g\u00e9om\u00e8tres, car il est constitu\u00e9 des sym\u00e9tries du 4-gone) ou D8<\/em> par d\u2019autres (les alg\u00e9bristes, car le groupe compte 8 \u00e9l\u00e9ments). La souris de Math\u00e9mAlchimie, qui se trouve sur les tapis autour de la galerie d’art et de curiosit\u00e9s<\/a>, subit une multitude de r\u00e9flexions et de rotations, chacune ayant sa propre teinte. Les rotations pures ont des nuances de rose\/rouge. Une r\u00e9flexion ajoute une teinte de bleu. Le grand tableau color\u00e9 montre la table de multiplication (ou table de Cayley) du groupe ; les autres figures montrent la structure des sous-groupes de ce groupe di\u00e9dral.<\/p>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Galois<\/summary>
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Cette page pr\u00e9sente deux treillis dont la relation d\u00e9montre le th\u00e9or\u00e8me fondamental de la th\u00e9orie de Galois : le treillis des champs interm\u00e9diaires de l\u2019extension Q<\/strong>(\u221c2, i<\/em>)\/Q<\/strong> est une version invers\u00e9e du treillis des sous-groupes du groupe de Galois de l\u2019extension de ce champ, D<\/em>8<\/sub>. Ces deux r\u00e9seaux pr\u00e9sentent un portrait d\u2019Evariste Galois en arri\u00e8re-plan.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/details><\/div>\n\n\n\n

Plan de Fano<\/summary>
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Le plan de Fano est le plus petit plan projectif fini ; il ne comporte que 7 points. Dans un plan projectif, chaque paire de points d\u00e9finit une ligne passant par ces deux points, et chaque paire de lignes se croise en un seul point. Le plan de Fano compte trois points sur chacune de ses sept lignes, et trois lignes passant par chacun de ses sept points. Si l\u2019on veut le repr\u00e9senter sur un plan euclidien, certaines lignes doivent n\u00e9cessairement \u00eatre courb\u00e9es. La figure de droite met en \u00e9vidence les sym\u00e9tries en sacrifiant la ligne droite, tandis que la figure de gauche sert de mn\u00e9monique pour la table de multiplication des octonions<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

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Synth\u00e8se additive<\/summary>
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Ce diagramme de Venn illustre les liens entre les math\u00e9matiques, l\u2019art et l\u2019abstraction ; les images associ\u00e9es \u00e0 chaque r\u00e9gion correspondent \u00e0 la caract\u00e9risation de la r\u00e9gion en tant qu\u2019ensemble. Dans la r\u00e9gion des maths isol\u00e9e, on retrouve une tangente et des s\u00e9cantes (des concepts cl\u00e9s du calcul diff\u00e9rentiel). L\u2019intersection des cercles \u00ab\u2009Math\u2009\u00bb et \u00ab\u2009Abstraction\u2009\u00bb contient un diagramme commutatif, et l\u2019intersection des trois cercles contient une adaptation du pavage 30-45-90 du plan hyperbolique de Coxeter, un dessin abstrait qui pla\u00eet aux math\u00e9maticiens et aux artistes. La r\u00e9gion des math\u00e9matiques et de l\u2019art pr\u00e9sente un pavage de poissons inspir\u00e9 d\u2019Escher, cr\u00e9\u00e9 par Bronna Butler. Certains poissons nagent dans la zone r\u00e9serv\u00e9e \u00e0 l\u2019art, puis s\u2019\u00e9chappent compl\u00e8tement du diagramme de Venn. Le titre fait r\u00e9f\u00e9rence au processus par lequel les couleurs des intersections des cercles sont cr\u00e9\u00e9es, \u00e0 partir des couleurs des r\u00e9gions isol\u00e9es. Il existe diff\u00e9rentes fa\u00e7ons de m\u00e9langer les couleurs ; la\u00a0\u00ab synth\u00e8se additive<\/a> \u00bb consiste \u00e0 superposer deux ou plusieurs faisceaux lumineux de couleurs diff\u00e9rentes, pour les m\u00e9langer. Le rouge, le bleu et le vert remplissent les r\u00e9gions \u00e0 un th\u00e8me. Leurs synth\u00e8ses additives deux \u00e0 deux (magenta, jaune et cyan) remplissent les intersections de deux r\u00e9gions. La synth\u00e8se additive des trois couleurs initiales donne le blanc au centre du diagramme. Cette \u0153uvre a \u00e9t\u00e9 s\u00e9lectionn\u00e9e pour la galerie d’art math\u00e9matique de la conf\u00e9rence \u00ab\u00a0Joint Mathematics Meeting<\/em>\u00a0\u00bb de 2021<\/a>. <\/p>\n\n\n\n

\u00c0 ce sujet, vous pouvez regarder la vid\u00e9o suivante sur Vimeo : <\/p>\n\n\n\n

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