{"id":10790,"date":"2021-02-02T18:00:00","date_gmt":"2021-02-02T23:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/mathemalchemy.org\/?p=10790"},"modified":"2023-07-17T23:21:50","modified_gmt":"2023-07-18T03:21:50","slug":"envolees-de-boule-convergentes-et-divergentes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathemalchemy.org\/fr\/2021\/02\/02\/envolees-de-boule-convergentes-et-divergentes\/","title":{"rendered":"Envol\u00e9es de boule convergentes et divergentes"},"content":{"rendered":"\n

Les deux Envol\u00e9es de Boules au dessus de Mathemalchemy<\/h2>\n\n

Lorsque vous avez vu Mathemalchemy pour la premi\u00e8re fois, qu’est-ce qui vous a le plus frapp\u00e9 ? Probablement les envol\u00e9es de boules (sph\u00e8res) de tailles diff\u00e9rentes. M\u00eame si les sph\u00e8res des deux envol\u00e9es deviennent infiniment petites, les boules de l’envol\u00e9e divergente s’\u00e9tendent infiniment, en s’\u00e9crasant dans l’oc\u00e9an et en plongeant dans ses profondeurs. Les sph\u00e8res de l’autre envol\u00e9e s’approchent d’un seul point dans l’espace – cette envol\u00e9e ne grandit pas sans limite.<\/p>\n\n

Ces envol\u00e9es ont une fonction artistique : ajouter de la couleur aux \u00e9l\u00e9ments verticaux de la pi\u00e8ce. Dans les premi\u00e8res versions du projet, elles \u00e9taient importantes car elles attiraient le regard vers le point le plus \u00e9lev\u00e9 de ce c\u00f4t\u00e9 de l’\u0153uvre. Les envol\u00e9es continuent \u00e0 servir de lien entre l’oc\u00e9an environnant et la page rendant hommage \u00e0 cinq math\u00e9maticiennes. Mais elles illustrent \u00e9galement un principe fondamental des math\u00e9matiques.<\/p>\n\n

Suites et s\u00e9ries<\/h2>\n\n
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Figure 1 : Suite de sommes partielles<\/h3>\n\n\n\n
\"Principe
Cet exemple montre que la r\u00e9p\u00e9tition 0.9–<\/span><\/span> est \u00e9gale \u00e0 1.<\/figcaption><\/figure><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
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Le principe math\u00e9matique qui sous-tend ces envol\u00e9es est celui des suites<\/em> et des s\u00e9ries<\/em>. Lorsque nous pensons \u00e0 une suite de nombres, nous imaginons g\u00e9n\u00e9ralement une liste infinie de nombres. Nous pouvons cr\u00e9er une deuxi\u00e8me suite, appel\u00e9e la suite des sommes partielles, dont le n-i\u00e8me terme est la somme des n premiers terme de la suite initiale. La somme d’une suite (appel\u00e9e s\u00e9rie) peut \u00eatre finie (convergente) ou non (divergente<\/a>).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Envol\u00e9e de boules convergente<\/h2>\n\n
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Tout d’abord, concentrons-nous sur la courte envol\u00e9e, que nous appelons l’envol\u00e9e convergente. Consid\u00e9rons la liste des diam\u00e8tres des boules par ordre d\u00e9croissant, en commen\u00e7ant par la plus grande boule. Cette liste comprend la suite qui nous int\u00e9resse. Nous avons construit cet envol\u00e9e en choisissant une s\u00e9rie correspondante dont nous connaissions le caract\u00e8re convergent. En d’autres termes, nous savions que la somme des termes \u00e9tait finie. Nous avons mis les termes \u00e0 l’\u00e9chelle pour que l’envol\u00e9e ait la longueur souhait\u00e9e. <\/p>\n\n\n\n

\"Suite<\/a>
Suite convergente en orange et sa suite des sommes partielles en noir.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
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\"Envolée
Envol\u00e9e convergente figurant dans la maquette de Dominique Ehrmann<\/a>.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n<\/div>\n\n

En d’autres termes, nous avons travaill\u00e9 \u00e0 rebours : nous avons fait en sorte que la premi\u00e8re sph\u00e8re ait un diam\u00e8tre \u00e9gal au premier terme de la suite, que la deuxi\u00e8me sph\u00e8re ait un diam\u00e8tre \u00e9gal au deuxi\u00e8me terme de la suite, et ainsi de suite. Tr\u00e8s rapidement, apr\u00e8s seulement 23 sph\u00e8res, les diam\u00e8tres des sph\u00e8res sont inf\u00e9rieurs \u00e0 un pouce ! La longueur de l’envol\u00e9e ne cro\u00eet donc que tr\u00e8s lentement. Comme il y a th\u00e9oriquement un nombre infini de sph\u00e8res dans cette envol\u00e9e, nous n’avons pu en repr\u00e9senter qu’une partie finie. N\u00e9anmoins, le spectateur peut avoir une bonne id\u00e9e de sa longueur totale, \u00e0 partir de ce qui est montr\u00e9.<\/p>\n\n

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Figure 2 : Illustration du principe de convergence<\/h3>\n\n\n\n
\"Animation<\/figure><\/div>\n\n\n\n
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L’exemple de la figure 1 montre que m\u00eame une somme infinie de nombres peut \u00eatre finie. Pour une illustration visuelle du m\u00eame principe (avec une somme diff\u00e9rente), voir la figure 2.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

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Dans la figure 3, chaque couleur repr\u00e9sente 1\/4 de la figure \u00e0 la premi\u00e8re \u00e9tape du coloriage. Nous pouvons alors d\u00e9duire qu’\u00e0 l’\u00e9tape suivante du coloriage, chaque couleur comprend un quart du quart restant, soit 1\/16 de la surface totale, et ainsi de suite. <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Figure 3 : Premi\u00e8re \u00e9tape de la convergence<\/h3>\n\n\n\n
\"\"
Chaque couleur repr\u00e9sente 1\/4 de la figure \u00e0 la premi\u00e8re \u00e9tape du coloriage.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n<\/div>\n\n

Cela nous am\u00e8ne \u00e0 la s\u00e9rie :<\/p>\n\n

\nC<\/i> =\n\n\u221e<\/span>\n\u2211<\/span>\nn<\/i>=1<\/span>\n<\/span>\n
\n1<\/span>\n\/<\/span>\n4n<\/i><\/sup><\/span>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

On constate que la somme de cette s\u00e9rie est 1\/3, car les trois r\u00e9gions color\u00e9es sont adjacentes et couvrent l’ensemble de la figure.<\/p>\n\n

Quels types de repr\u00e9sentations ont \u00e9t\u00e9 r\u00e9alis\u00e9s pour les s\u00e9ries convergentes ? Pouvez-vous proposer de nouvelles repr\u00e9sentations ?<\/p>\n\n

Envol\u00e9e de boules divergente<\/h2>\n\n
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Passons maintenant \u00e0 la grande envol\u00e9e, que nous appelons l’envol\u00e9e divergente. Les diam\u00e8tres des sph\u00e8res continuent de d\u00e9cro\u00eetre infiniment, mais la taille des diam\u00e8tres ne diminue pas aussi rapidement que pour l’envol\u00e9e convergent. Nous avons mis cette s\u00e9rie \u00e0 l’\u00e9chelle afin que le premier terme soit le m\u00eame que pour l’envol\u00e9e convergente, de sorte qu’elles partagent la m\u00eame premi\u00e8re boule. <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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\"Envolée
La figure de l’envol\u00e9e divergente dans la maquette de Dominique Ehrmann<\/a>.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n<\/div>\n\n
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\"Suite<\/a>
Suite divergente en orange et sa suite des sommes partielles en noir.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
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Comme l’envol\u00e9e convergente, cet envol\u00e9e contient th\u00e9oriquement un nombre infini de sph\u00e8res, mais nous ne pouvons en inclure qu’un nombre fini. Pourtant, la longueur de cette envol\u00e9e est infinie, du moins c’est ce que nous devons imaginer. (Une envol\u00e9e infiniment longue ne tiendrait pas \u00e0 l’int\u00e9rieur de notre monde).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

L’un des aspects les plus int\u00e9ressants des math\u00e9matiques est la fa\u00e7on dont l’imagination rentre naturellement en jeu lorsque nous approchons le domaine th\u00e9orique.<\/p>\n\n

Principe des s\u00e9ries g\u00e9om\u00e9triques convergentes en vid\u00e9o<\/h3>\n\n
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En fran\u00e7ais cette fois! Cette vid\u00e9o Youtube sur les s\u00e9ries g\u00e9om\u00e9triques convergentes est tr\u00e8s bien faite et illustre ce concept.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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