{"id":10808,"date":"2021-02-17T16:44:00","date_gmt":"2021-02-17T21:44:00","guid":{"rendered":"https:\/\/mathemalchemy.org\/?p=10808"},"modified":"2023-07-17T23:21:26","modified_gmt":"2023-07-18T03:21:26","slug":"donnez-des-symetries-a-une-souris","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathemalchemy.org\/fr\/2021\/02\/17\/donnez-des-symetries-a-une-souris\/","title":{"rendered":"Donnez des sym\u00e9tries \u00e0 une souris"},"content":{"rendered":"\n

Pour l’amour de la sym\u00e9trie : les arts du tissus<\/h3>\n\n

Permettez-moi de commencer, de mani\u00e8re quelque peu circulaire, en me citant moi-m\u00eame : <\/p>\n\n

\u00ab\u00a0J’aime la sym\u00e9trie. Ou, pour \u00eatre plus pr\u00e9cis, j’aime les sym\u00e9tries<\/em>.<\/p>

Vous voyez, je suis une math\u00e9maticienne, et les math\u00e9maticiens identifient partout des motifs. Nous ne pouvons pas nous en emp\u00eacher. Nous ne nous contentons pas d’admirer les objets sym\u00e9triques, nous nous demandons de quelle mani\u00e8re ils sont sym\u00e9triques. Sym\u00e9trique par r\u00e9flexion d’un miroir, comme un visage ? Sym\u00e9trique par rotation, comme un moulin \u00e0 vent? Sym\u00e9trique par translation (mouvement en ligne droite), comme une rang\u00e9e de petits soldats ? Sym\u00e9trique par une r\u00e9flexion translat\u00e9e, comme des empreintes de pas dans le sable ?\u00a0\u00bb<\/p><\/blockquote>\n\n

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\"Écharpe
\u00c9charpe cristalline <\/em>par Susan Goldstine<\/a>, 2016.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n

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Ce texte est le d\u00e9but d’un exercice d’introduction aux math\u00e9matiques avanc\u00e9es pour un large publique : le motif de l’\u00e9charpe Crystalline,<\/em><\/a> publi\u00e9 dans le magazine de tricot en ligne Knitty<\/em><\/a> . (Le motif est disponible gratuitement pour les tricoteurs int\u00e9ress\u00e9s). <\/em>Ces derni\u00e8res ann\u00e9es, j’ai \u00e9t\u00e9 de plus en plus attir\u00e9e par la repr\u00e9sentation de structures sym\u00e9triques dans les divers arts du tissu: le tricot, la broderie, le perlage, etc. Les math\u00e9matiques qui s’y cachent sont fascinantes et interagissent souvent de mani\u00e8re subtile avec chaque production. De plus, il est toujours agr\u00e9able de pouvoir prouver une proposition math\u00e9matique \u00e0 l’aide d’une \u00e9charpe.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

G\u00e9n\u00e9rer des sym\u00e9tries<\/h2>\n\n

Rouleau de frise fondamental II<\/em><\/h3>\n\n

Pour mieux comprendre les diff\u00e9rentes sym\u00e9tries, examinons un tricot r\u00e9cent, la tenture murale en dentelle perl\u00e9e Rouleau de frise fondamental II<\/em>, illustr\u00e9e et sch\u00e9matis\u00e9e ici. <\/p>\n\n

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Rouleau de frise fondamental II<\/em> par Susan Goldstine<\/a>, 2018.<\/figcaption><\/figure>\n

Je l’ai con\u00e7u pour mieux expliquer les motifs de sym\u00e9trie, en utilisant des points et des lignes perl\u00e9s pour marquer les sym\u00e9tries dans les sept motifs de dentelle. Chaque motif poss\u00e8de une sym\u00e9trie de translation<\/a>, c’est-\u00e0-dire qu’il se r\u00e9p\u00e8te \u00e0 l’infini dans une direction. Les autres sym\u00e9tries sont appliqu\u00e9es au motif qui se r\u00e9p\u00e8te \u00e0 l’infini, s’\u00e9chappant du rouleau et continuant jusqu’\u00e0 l’infini. Les math\u00e9maticiens appellent ces dessins des motifs de frise et cataloguent chaque structure de sym\u00e9trie possible comme un groupe de frise<\/a>. <\/strong>Les lignes blanches marquent les axes de r\u00e9flexion<\/a>: si vous refl\u00e9tez le motif \u00e0 travers une ligne blanche, la forme du dessin reste inchang\u00e9e. Les lignes jaunes marquent les axes de r\u00e9flexion translat\u00e9e<\/a>: ici, un miroir plac\u00e9 de part et d’autre de la ligne d\u00e9place le motif. Si vous d\u00e9placez (translatez) la r\u00e9flexion l\u00e9g\u00e8rement le long de l’axe jaune, vous retrouvez le motif original. \u00c0 chaque perle bleue, une rotation<\/a> d’un demi-tour autour de la perle permet de pr\u00e9server le dessin.<\/p>\n\n

Nous savons depuis longtemps qu’il existe exactement sept structures de sym\u00e9trie diff\u00e9rentes pour un motif de frise, ce sont les sept groupes de frise. Rouleau de frise fondamental II<\/em> est un \u00e9chantillon complet des sym\u00e9tries<\/a> : il contient un dessin pour chaque groupe de sym\u00e9trie. Dans le m\u00eame temps, l’\u00e9charpe Cristalline<\/em> repr\u00e9sente certains groupes de papiers peints<\/a> \u00e9troitement li\u00e9s, qui d\u00e9crivent les sym\u00e9tries des motifs qui se r\u00e9p\u00e8tent dans deux directions ind\u00e9pendantes. Ils remplissent le plan comme si quelqu’un disposant d’un temps illimit\u00e9 tapissait une pi\u00e8ce infini. Il existe dix-sept groupes de papiers peints, mais seuls neuf d’entre eux peuvent s’inscrivent dans la grille rectangulaire du tricot. Ces neuf groupes sont donc repr\u00e9sent\u00e9s dans Cristalline<\/em>.<\/p>\n\n

Le Rouleau de frise fondamental II<\/em> utilise une m\u00e9thode tr\u00e8s particuli\u00e8re pour construire les diff\u00e9rents types de sym\u00e9trie. Pour l’\u00e9charpe, j’ai r\u00e9aliser les groupes de papiers peints de mani\u00e8re ad hoc, profitant des sym\u00e9tries naturelles des c\u0153urs (r\u00e9flexion), des vignes (r\u00e9flexion translat\u00e9e) et des volutes (rotation). Mais comme vous pouvez le voir dans le diagramme, chaque dessin de la frise est construit \u00e0 partir du m\u00eame motif de dentelle asym\u00e9trique. Les sym\u00e9tries sont form\u00e9es en appliquant les transformations que nous voulons \u00e0 ce motif. Il s’agit d’une technique tr\u00e8s puissante, qui fonctionne avec n’importe quel motif ne pr\u00e9sentant aucune sym\u00e9trie interne.<\/p>\n\n

Sym\u00e9tries de la souris<\/h2>\n\n

Lors des premi\u00e8res \u00e9tapes de Mathemalchemy, lorsque Dominique et Ingrid ont lanc\u00e9 leur appel pour des histoires \u00e0 int\u00e9grer dans l’installation, j’ai imm\u00e9diatement pens\u00e9 qu’il serait amusant de cr\u00e9er une chasse au tr\u00e9sor, en dispersant diff\u00e9rentes sym\u00e9tries d’un m\u00eame motif \u00e0 travers l’exposition.<\/p>\n\n

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J’ai commenc\u00e9 \u00e0 dessiner diff\u00e9rents motifs sur mon ordinateur, mais je n’arrivais pas \u00e0 trouver un motif g\u00e9om\u00e9trique qui soit facile \u00e0 rep\u00e9rer, qui fonctionne avec diff\u00e9rents angles de rotation et qui donne des dessins esth\u00e9tiques. Et puis j’ai eu une id\u00e9e : et si, au lieu d’utiliser des formes abstraites, je cr\u00e9ais une forme reconnaissable ? Notre imagination collective \u00e9tait d\u00e9j\u00e0 en \u00e9bullition, et nous pension \u00e0 diverses cr\u00e9atures des bois. Qu’en est-il des souris ?<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Une premi\u00e8re esquisse des motifs possibles de la souris.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n<\/div>\n\n
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\"Plan
Plan du tricot du mur de la boulangerie.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
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Tandis que l’\u00e9quipe de Math\u00e9malchemy tra\u00e7ait les contours de notre royaume imaginaire, les souris convergeaient vers la source de nourriture centrale, la boulangerie. J’\u00e9tais naturellement int\u00e9ress\u00e9e par la fabrication des motifs qui pouvaient \u00eatre tricot\u00e9s, et j’ai donc con\u00e7u un papier peint en forme de souris (!) pour le mur du c\u00f4t\u00e9 de la boulangerie. Comme vous pouvez le voir dans le tableau ici, il y a neuf motifs sur le mur, correspondant aux m\u00eames neuf groupes que dans Cristalline<\/em>. Le mur se tricote tr\u00e8s lentement sur des aiguilles extr\u00eamement petites ; \u00e0 titre indicatif, le temps de tricotage est d’environ une heure par souris.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n

Il y a trois autres groupes de papiers peints qui ne tiennent pas tout \u00e0 fait sur le mur parce que les mailles ne sont pas carr\u00e9s. Cependant, la broderie au point compt\u00e9 utilise une grille carr\u00e9e, et notre \u00e9quipe compte plusieurs experts en tricots. Avec l’avanc\u00e9e du plan du quartier de la boulangerie, nous avons d\u00e9cid\u00e9 que la galerie d’art n\u00e9cessitait des tapis d\u00e9coratifs \u00e0 son l’ext\u00e9rieur. Mary William<\/a> et moi-m\u00eame avons adapt\u00e9 le dessin de la souris au point compt\u00e9, et Mary, Ingrid Daubechies<\/a> et Kathy Peterson se sont mises \u00e0 les coudre. Si vous examinez chaque dessin, vous devriez rep\u00e9rer des sym\u00e9tries de rotation \u00e0 90\u00b0 qui exploitent les propri\u00e9t\u00e9s carr\u00e9es des mailles.<\/p>\n\n