Dos Arcos de Pelotas sobre MatemAlquimia
Cuando vio MatemAlquimia por primera vez, ¿qué fue lo que más le llamó la atención? Supongo que los dos arcos que muestran pelotas (esferas) de diferentes tamaños. Aunque las esferas de ambos arcos se hacen arbitrariamente pequeñas, las esferas de un arco se extienden indefinidamente, chocando contra el océano y precipitándose en sus profundidades. Las esferas del otro arco se aproximan a un único punto en el espacio: ese arco no crece sin límites.
Estos arcos sirven al propósito artístico de añadir color a los elementos verticales de la pieza. En las primeras versiones del proyecto, eran importantes porque atraían la mirada hacia el punto más alto del lado este de la obra. Los arcos siguen sirviendo de conexión física entre la página que honra a cinco mujeres matemáticas y el océano circundante, pero también comunican un principio fundamental de las matemáticas.
Secesiones y series
Figura 1: Sucesión de sumas parciales
El principio matemático que subyace a estos arcos es el de las sucesioness y series. Si pensamos en una sucesión de números, normalmente imaginamos una lista infinita de números. Podemos crear una segunda sucesión, llamada sucesión de sumas parciales, creando un total de la suma de los números de la primera sucesión. La suma de una sucesión (su serie) puede ser finita (convergente) o no(divergente).
Arco de Pelotas Convergente
En primer lugar, centrémonos en el arco corto, que llamamos arco convergente. Considere la lista de diámetros de las esferas en orden decreciente, empezando por la esfera mayor. Esta lista comprende la sucesión que nos interesa. Construimos este arco eligiendo una serie correspondiente que sabíamos que convergía. Es decir, sabíamos que la suma de los términos era finita. Escalamos los términos para que el arco tuviera la longitud que deseábamos.
En otras palabras, trabajamos hacia atrás: hicimos que la primera esfera tuviera un diámetro igual al primer término de la sucesión, que la segunda esfera tuviera un diámetro igual al segundo término de la sucesión, y así sucesivamente. Rápidamente, después de sólo 23 esferas, ¡los diámetros de las esferas son inferiores a una pulgada! Por tanto, la longitud del arco crece muy lentamente. Como teóricamente hay un número infinito de esferas en este arco, sólo pudimos incluir una parte del arco. No obstante, el espectador puede hacerse una buena idea de su longitud total a partir de lo que se muestra.
Figura 2: Ilustración del principio de convergencia
El ejemplo de la figura 1 muestra que incluso una suma infinita de números puede llegar a ser finita. Para una ilustración visual del mismo principio (utilizando una suma diferente), mire la figura 2.
Observe que en la figura 3, vemos que cada color comprende 1/4 de la figura en la primera etapa de coloreado. Podemos intuir entonces que en la siguiente fase de coloración cada color comprende 1/4 del 1/4 restante o 1/16 de la figura total, y así sucesivamente.
Figura 3: Primera etapa de la convergencia
Esto nos lleva a la serie:
Podemos ver que la suma de esta serie es 1/3, ya que las tres regiones coloreadas son congruentes y abarcan toda la figura.
¿Qué tipos de visualizaciones ha hecho la gente para las series convergentes? ¿Se le ocurren nuevas visualizaciones?
Arco de Pelotas Divergente
Pasemos ahora al arco largo, que llamamos arco divergente. Los diámetros de las esferas siguen decreciendo hacia cero, pero el tamaño del diámetro no se reduce tan rápidamente como en el caso del arco convergente. Escalamos esta serie para que el primer término sea el mismo que para el arco convergente, de modo que compartan la misma primera esfera.
Al igual que el arco convergente, este arco contiene teóricamente un número infinito de esferas, pero sólo podemos incluir un número finito. Sin embargo, la longitud de este arco es infinita, o así deberíamos imaginarlo. (Un arco infinitamente largo no cabría dentro de nuestro mundo).
Uno de los aspectos más bellos de las matemáticas es cómo la imaginación entra en juego de forma natural a medida que nos adentramos en el ámbito teórico.
Principio de convergencia de series geométricas en vídeo
¿Entiende usted francés? Este vídeo de Youtube sobre series geométricas convergentes está muy bien hecho e ilustra este concepto.
El Camino de Zenón en la escena de Tess la Tortuga también se basa en la teoría de Convergencia
