Les deux Envolées de Boules au dessus de Mathemalchemy
Lorsque vous avez vu Mathemalchemy pour la première fois, qu’est-ce qui vous a le plus frappé ? Probablement les envolées de boules (sphères) de tailles différentes. Même si les sphères des deux envolées deviennent infiniment petites, les boules de l’envolée divergente s’étendent infiniment, en s’écrasant dans l’océan et en plongeant dans ses profondeurs. Les sphères de l’autre envolée s’approchent d’un seul point dans l’espace – cette envolée ne grandit pas sans limite.
Ces envolées ont une fonction artistique : ajouter de la couleur aux éléments verticaux de la pièce. Dans les premières versions du projet, elles étaient importantes car elles attiraient le regard vers le point le plus élevé de ce côté de l’œuvre. Les envolées continuent à servir de lien entre l’océan environnant et la page rendant hommage à cinq mathématiciennes. Mais elles illustrent également un principe fondamental des mathématiques.
Suites et séries
Figure 1 : Suite de sommes partielles
Le principe mathématique qui sous-tend ces envolées est celui des suites et des séries. Lorsque nous pensons à une suite de nombres, nous imaginons généralement une liste infinie de nombres. Nous pouvons créer une deuxième suite, appelée la suite des sommes partielles, dont le n-ième terme est la somme des n premiers terme de la suite initiale. La somme d’une suite (appelée série) peut être finie (convergente) ou non (divergente).
Envolée de boules convergente
Tout d’abord, concentrons-nous sur la courte envolée, que nous appelons l’envolée convergente. Considérons la liste des diamètres des boules par ordre décroissant, en commençant par la plus grande boule. Cette liste comprend la suite qui nous intéresse. Nous avons construit cet envolée en choisissant une série correspondante dont nous connaissions le caractère convergent. En d’autres termes, nous savions que la somme des termes était finie. Nous avons mis les termes à l’échelle pour que l’envolée ait la longueur souhaitée.
En d’autres termes, nous avons travaillé à rebours : nous avons fait en sorte que la première sphère ait un diamètre égal au premier terme de la suite, que la deuxième sphère ait un diamètre égal au deuxième terme de la suite, et ainsi de suite. Très rapidement, après seulement 23 sphères, les diamètres des sphères sont inférieurs à un pouce ! La longueur de l’envolée ne croît donc que très lentement. Comme il y a théoriquement un nombre infini de sphères dans cette envolée, nous n’avons pu en représenter qu’une partie finie. Néanmoins, le spectateur peut avoir une bonne idée de sa longueur totale, à partir de ce qui est montré.
Figure 2 : Illustration du principe de convergence
L’exemple de la figure 1 montre que même une somme infinie de nombres peut être finie. Pour une illustration visuelle du même principe (avec une somme différente), voir la figure 2.
Dans la figure 3, chaque couleur représente 1/4 de la figure à la première étape du coloriage. Nous pouvons alors déduire qu’à l’étape suivante du coloriage, chaque couleur comprend un quart du quart restant, soit 1/16 de la surface totale, et ainsi de suite.
Figure 3 : Première étape de la convergence
Cela nous amène à la série :
On constate que la somme de cette série est 1/3, car les trois régions colorées sont adjacentes et couvrent l’ensemble de la figure.
Quels types de représentations ont été réalisés pour les séries convergentes ? Pouvez-vous proposer de nouvelles représentations ?
Envolée de boules divergente
Passons maintenant à la grande envolée, que nous appelons l’envolée divergente. Les diamètres des sphères continuent de décroître infiniment, mais la taille des diamètres ne diminue pas aussi rapidement que pour l’envolée convergent. Nous avons mis cette série à l’échelle afin que le premier terme soit le même que pour l’envolée convergente, de sorte qu’elles partagent la même première boule.
Comme l’envolée convergente, cet envolée contient théoriquement un nombre infini de sphères, mais nous ne pouvons en inclure qu’un nombre fini. Pourtant, la longueur de cette envolée est infinie, du moins c’est ce que nous devons imaginer. (Une envolée infiniment longue ne tiendrait pas à l’intérieur de notre monde).
L’un des aspects les plus intéressants des mathématiques est la façon dont l’imagination rentre naturellement en jeu lorsque nous approchons le domaine théorique.
Principe des séries géométriques convergentes en vidéo
En français cette fois! Cette vidéo Youtube sur les séries géométriques convergentes est très bien faite et illustre ce concept.
Le chemin de Zénon dans la scène de Tess la tortue est également basé sur la théorie de la convergence.
