Lorsque les gens me demandent ce qu’est la théorie des nombres (mon domaine de recherche), nous finissons invariablement par parler des nombres premiers. Lorsqu’ils me demandent ce que j’aime dans mon domaine, je leur dis que j’aime retrouver des motifs et faire des liens – quelque chose que j’aime dans toutes les mathématiques – et que la théorie des nombres en particulier pose des problèmes simples à comprendre, mais qui conduisent à des théories profondes et complexes. Ces thèmes sont visibles dans les trois représentations des nombres premiers dans le jardin.
Les deux premières scènes
Les tamias découvrent les nombres premiers
À côté de la colline, un couple d’écureuils trie les nombres entiers en une pile de nombres premiers et une pile de nombres composés. Ils apprennent ce que cela signifie d’être premier, et explorent peut-être les nombres premiers pour la première fois. (Tenez vous au courant pour en savoir plus sur cette scène dans un prochain article de blog !)
Des écureuils malins et le crible d’Eratosthène
Au milieu du jardin, quelques écureuils adoptent une approche un peu plus avancée. Au lieu de réfléchir à chaque nombre un par un, ils utilisent le crible d’Eratosthène pour trouver tous les nombres premiers en une seule fois. Ils ont déjà éliminé les multiples de deux, trois et cinq. En outre, grâce à leurs cribles translucides spéciaux, ils peuvent voir la factorisation des nombres composés, en se basant simplement sur la couleur – puisque le cribles correspondant aux multiples de 2 est rouge et que celui correspondant aux multiples de 3 est jaune, les multiples de 6 sont orange !
Un chemin se dessine
Ces deux vignettes figuraient dans les tout premiers plans de notre installation – en fait, une version de la scène de l’écureuil faisait partie du tout premier projet proposé par Ingrid et Dominique lors de la conférence JMM de 2020. J’étais enthousiaste à l’idée de rejoindre le groupe du Jardin, en partie parce que c’est là que se trouvaient les nombres premiers.
Lorsque la vision du jardin a commencé à se préciser en mars, j’ai demandé si nous pouvions ajouter une ramification à l’exploration des nombres premiers – un chemin de jardin montrant le crible d’Eratosthènes pour les nombres entiers gaussiens, également connus sous le nom de Z[i]. J’ai été ravie de voir que tout le monde était d’accord !
Les nombres entiers de Gauss
Les nombres entiers de Gauss sont un analogue en nombres complexes des nombres entiers ordinaires : c’est l’ensemble des nombres complexes qui peuvent être écrits comme a+bi, où a et b sont des nombres entiers ordinaires. Tout comme les entiers plus familiers, certains entiers gaussiens peuvent être factorisés : par exemple, 3+i = (1+2i)(1-i), ou 5 = (1+2i)(1-2i). D’autres, comme 1+2i, 1-i et 1-2i, ne peuvent pas l’être. Dans le chemin du jardin, chaque pavé enlève des multiples d’un nombre entier de Gauss premier, de sorte que les nombres entiers de Gauss composites sont finalement éliminés.
La classification des nombres premiers dans Z[i] conduit à des questions sur les nombres entiers qui peuvent être écrits comme la somme de deux carrés et bien d’autres choses encore ! Quels motifs observez-vous dans les nombres premiers de Z[i] ?
