Il neige toujours sur la colline de Riemann-Lebesgue. Cette neige est probablement un peu différente de celle que vous voyez tomber dans votre quartier. La neige naturelle est formée par la condensation de la vapeur d’eau en gouttelettes qui gèlent ensuite pour former une graine cristalline sur laquelle la vapeur d’eau peut geler. Encore et encore jusqu’à ce que, tadaa! Les flocons de neige de l’exposition Mathemalchemy quant à eux sont construits à l’aide de mathématiques et de lasers .
Conception des flocons
Serpents dans le plan (Le genre géométrique)
Tout d’abord, un dessin est généré à l’aide d’un programme informatique composé de MATLAB, Mathematica, SAGE ou d’un sympathique serpent – Python. Une belle introduction à la création de flocons de Koch se trouve à Trinket – # Your basic Koch triangle.
Il s’agit d’une belle introduction à Python et à la méthode itérative avec l’aide d’une tortue. La mascotte de l’exposition est une tortue nommée Tess en voyage vers l’infini. Il est donc tout à fait approprié qu’une autre tortue nous guide au travers des mathématiques associés à cette forme magnifique.
Tout commence par un triangle
Nos flocons de neige sont créés par Ingrid Daubechies. Les exemples que je vais présenter commencent par un triangle équilatéral tel que décrit par Helge von Koch dans son article de 1904 “Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire” (texte original en français). A noter que le français était la langue internationale des sciences à l’époque.
Je ne sais pas s’il a utilisé une équerre et un compas ou une règle graduée, mais il a réussi à tracer et à intersecter de très belles lignes.
Ingrid m’a fourni cinq itérations de flocons de neige Koch que j’ai importées dans un logiciel graphique gratuit appelé Inkscape. Il peut faire à peu près tout ce que les programmes payants peuvent faire. De nombreuses vidéos Youtube sont également disponibles.
Ensuite, j’ai ouvert la 4ème itération dans une autre instance d’Inkscape et je l’ai “copiée-collée” dans le dessin de la 5ème itération. Après un léger redimensionnement, je l’ai placé à l’intérieur de la 5ème itération. Nous avons ensuite appliqué le même procédé aux 3ème, 2ème et 1ère itérations.
Sur cette image, vous pouvez voir que le flocon de neige le plus à l’intérieur est simplement un triangle équilatéral avec, au centre de chaque arête, un triangle équilatéral plus petits d’une longueur d’arête ⅓ de l’arête d’origine.
Le même processus est minutieusement réalisé par Koch à la plume et à l’encre.
Flocons et lasers
Pew-Pew ! ZAP !
Ok, c’est l’heure des lasers ! C’est parti pour la découpe au laser. J’utilise Ponoko parce que je trouve que jc’est facile d’utilisation et que leurs prix sont raisonnables.
Commençons par charger une image. Ponoko exige que l’image soit un fichier vectorisé scalaire. Un nom plus approprié pourrait être “Scalable Vector File” (fichier vectorisé adaptable), car c’est ce qu’il fait si bien : il préserve la forme du dessin lors de l’agrandissement et du rétrécissement.
Maintenant, notre flocon de neige doit être téléchargé. Ponoko doit encore passer par quelques étapes, comme l’analyse et la finition. La première fois que j’ai essayé, cela m’a pris environ deux minutes. Je craignais d’avoir trop sollicité son service informatique ou d’avoir rompu ma connexion internet… non, cela prend juste un peu de temps.
L’étape importante suivante consistent à définir la fonction de chaque ligne de couleur. J’ai mis le contour extérieur en bleu et l’intérieur en noir de sorte que la découpe se fasse sur le bleu et la gravure sur le noir, comme vous pouvez le voir ci-dessous.
Après avoir validé le concept, il est temps de choisir le matériau. Nous avons opté pour un plexiglas transparent de 3 mm ou ~⅛ pouce. Il suffit de quelques clics supplémentaires pour que le dessin soit prêt à être découpé. Confirmer le matériau. Ponoko est bavard en ce qui concerne le nombre d’étapes. Vous pouvez également revenir en arrière en cours de route. Leur service clientèle est également très bon.
Finalement, c’est à peu près la même chose que n’importe quel autre site d’achat en ligne. Il y a cependant un problème. Les lignes gravées ne se voient pas très bien dans les dernières étapes de la commande. Comme vous pouvez le voir sur la photo ci-dessous. Mais le service clientèle m’a assuré qu’elles étaient en fait toujours là.
Une fois la commande passée, les condensateurs se chargent en prévision d’un découpage au laser de grande envergure. Maintenant il ne nous reste plus qu’à attendre. J’aurais pu opter pour le faire livrer dès le lendemain, mais le supplément est élevé. J’ai plutôt choisi cinq jours. Ponoko envoie des informations de suivi, qu’il choisisse de livrer avec UPS ou USPS. Il est toujours agréable de savoir où et quand les colis sont livrés.
Les bonnes choses se présentent sous forme de gros paquets
Et voilà, c’est fait !
L’acrylique est recouvert sur les deux faces de papier adhésif très tenace pour le protéger des rayures.
Détacher les flocons et c’est l’heure du bain.
Le bain des flocons !
Je les ai laissés tremper pendant environ trois heures, puis j’ai pu enlever le papier protecteur facilement. Pour d’autres commandes, ils ont utilisé un papier brun qui contient apparemment plus de colle. Il faut une nuit dans de l’eau savonneuse pour décoller ça.
Voilà ! Partie 2
Et voilà, un joli flocon au bord de la mer. Magnifique !
Cependant, il fut un temps où les fonctions mathématiques de ce type étaient considérées comme des “monstres”.
Une très bonne lecture sur ce sujet est disponible dans MacTutor History of Mathematics Archive de l’Université de St Andrews, en Écosse – A History of Fractal Geometry (Histoire de la géométrie fractale).
