Arcos de Pelotas – Conexiones matemáticas

La historia

Dos arcos de pelotas «infinitos» brotan del Gran Quilt de Garabatos y rodean la exposición. Uno se eleva hacia el cielo y desaparece de la vista, representando una serie convergente. El otro arco se hunde en la bahía, representando una serie divergente. Si los arcos tuvieran realmente un número infinito de bolas, la longitud de la serie convergente sería finita, mientras que la longitud de la serie divergente sería infinita.

Los dos arcos demuestran la diferencia entre una serie convergente y una divergente. El más corto de los dos es el Arco Convergente; corresponde a una serie geométrica, en la que cada pelota tiene un diámetro que es una fracción fija del diámetro precedente (mayor). La suma de todos los diámetros (la longitud del arco) es finita; el Arco Convergente se detiene a una distancia finita de su inicio aunque haya infinitas bolas. (Las bolas de su cola se vuelven demasiado pequeñas para ser vistas).

En el Arco Divergente, la relación entre el(n+1)º diámetro y el enésimoes (n/n+1^{)^{⅔}}; aunque cada bola tiene un diámetro estrictamente menor que la inmediatamente anterior, la disminución es tan lenta que la serie diverge.

Este arco, si continuara ad infinitum, atravesaría los pisos inferiores, la Tierra, saldría del sistema solar y, finalmente, incluso de nuestra galaxia: seguiría eternamente. En la práctica, lo perdemos de vista cuando se sumerge bajo las aguas de la Bahía.

No todas las bolas están adornadas con bordados. En cada uno de los Arcos, se pueden numerar las bolas desde el principio; la bola más grande (compartida) es la 1, seguida de la 2 (que tiene el mismo tamaño en ambos arcos, aunque las series tengan un comportamiento tan diferente), la 3 (ya un poco más pequeña en el Arco Convergente que en el Divergente), etc. Con esta numeración, se comprueba fácilmente que sólo están bordadas las bolas con los números 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71, 73. Sólo podemos ver las 100 primeras bolas en el arco divergente (en el arco convergente, podemos distinguir muchas menos; la bola número 100 tiene un diámetro inferior a 0.0004″ y no es visible); si pudiéramos ver por debajo de la superficie del agua, entonces resultaría que las bolas 101 y 103 también están bordadas. Las etiquetas de las bolas bordadas son todos los números primos gemelos hasta donde podemos ver, es decir, cada etiqueta de una bola de este tipo es uno de un par de números primos que sólo están separados por 2, como se ilustra en la figura.

(Observe que las disposiciones numéricas en espiral de este tipo, a menudo llamadas espirales de Ulam, ponen de manifiesto propiedades muy interesantes y aún poco conocidas de la distribución de los números primos. A escalas mucho mayores que en esta figura, surgen líneas y curvas en las que los números primos aparecen con mucha más frecuencia que en otras partes). La mayoría de los matemáticos creen, aunque todavía no se ha demostrado en 2021, que existen infinitos pares de números primos gemelos. (Un resultado innovador de 2014, obra de Zhang, demuestra que, para un número finito N, existen infinitos pares de números primos que están separados como máximo por un número finito N.) Al principio, los valores de N que permitían una prueba irrefutable eran muy grandes; un gran esfuerzo matemático colaborativo redujo el valor a N=246. En enero de 2022, la conjetura del primo gemelo, correspondiente a N=2, sigue abierta).

El patrón de bordado de las bolas adornadas se inspiró en los sólidos de Catalan, otra familia de poliedros especiales distinta de los sólidos platónicos, arquimediano y de Johnson ilustrados en otras partes de la instalación. (Aunque existe una relación: los sólidos de Catalan son duales de los sólidos arquimedianos). Como en esas otras tres familias, los poliedros de Catalan son convexos; a diferencia de ellos, no tienen caras que sean a su vez polígonos regulares. Lo que los hace especiales es que en cada sólido de Catalan todas las caras son polígonos idénticos (lo que no ocurre en los poliedros de Johnson o incluso en los arquimedianos). Hay 13 sólidos de Catalan; cada uno de ellos está ilustrado por uno (o dos) de los patrones de bordado elegidos para las 15 bolas bordadas visibles en el arco divergente; sus hermanos más pequeños en el arco convergente lucen el mismo patrón con una permutación de los colores del bordado.

Esta tabla ilustra la correspondencia entre los sólidos catalanes y los bordados temari; las dos últimas bolas bordadas (71 y 73) muestran repeticiones de sólidos catalanes ilustrados anteriormente.