Panadería
Conexiones matemáticas
Nuestro equipo preparó, sazonó y llenó la Panadería de Matemáticas. Explórelas abriendo los conceptos que aparecen a continuación. ¡Buen provecho!
If you are at the exhibit…
La historia
Arnold el Gato, ayudado por su hábil ratón ayudante, hornea galletas teselantes, pretzels anudados y otras delicias en la Panadería de Mandelbrot.
Look closely; what do you see?
¿Puede encontrar patrones repetitivos en…
- ¿Los ratones de la pared de la panadería?
- ¿Las baldosas del suelo de la panadería?
- ¿Las galletas de la bandeja de Arnold?
- ¿Los diseños de galletas de la lista del ratón?
Focus on… wallpaper groups
Los patrones simétricos del papel tapiz azul con temática de ratón de la panadería ilustran lo que los matemáticos llaman grupos de papel tapiz. Hay 17 grupos de papeles tapiz en total, clasificados por distintos tipos de simetrías bidimensionales. El tapiz de la panadería ilustra los nueve grupos que presentan sólo reflejos, reflejos con deslizamiento y rotaciones de 180º.
Los ocho grupos de papel tapiz restantes, que presentan rotaciones de 60º, 90º y/o 120º, están ilustrados con ratones decorativos en otros lugares: en las alfombras del suelo situadas delante de la Tienda de Curiosidades y en la Terraza, y en el tapiz acolchado del interior de la Tienda de Curiosidades.
Los grupos de papel tapiz describen motivos que se repiten al menos en dos direcciones, mientras que los grupos de friso describen motivos que se repiten en una sola dirección. Los ratones en blanco y negro de las pizarras que rodean la instalación muestran los 17 grupos de frisos bicolores.
Pentagons & Heptagons
Varios motivos decorativos de la Panadería están relacionados con pentágonos regulares (decoración de la ventana y la puerta delanteras; decoración de la ventana lateral izquierda) o con la simetría pentagonal (puerta del horno, rueda del carro exterior).
El horno, situado entre el escaparate de la Panadería, de temática pentagonal, y el Faro, de temática heptágonal, utiliza motivos heptagonales (también conocidos como 7-gonales) en sus paredes laterales y en el techo.
Wallpaper Groups
El papel tapiz del ratón ilustra 9 de los 17 grupos de papel tapiz; son los 9 grupos que presentan sólo reflexiones, reflexiones con deslizamiento y rotaciones de 180 grados, lo que los hace fáciles de aplicar con el tejido (la técnica artesanal utilizada para este papel tapiz).
Los 8 grupos de papeles pintados restantes están ilustrados en otros lugares del Centro (cerca de la Tienda de Curiosidades y en la Terraza).
Tessellation
La forma de galleta pi tesela el plano euclídeo bidimensional, al igual que las demás formas propuestas por Mo[u]se.
Una teselación diferente es la ilustrada por los azulejos del suelo, que es una de las teselaciones pentagonales descubiertas por Marjorie Rice.
En la rueda del carro de exhibición de la Panadería (contra la pared exterior) hay un adoquinado de naturaleza diferente. Los arcos circulares no cerrados del diseño del cubo de la rueda muestran un embaldosado del disco hiperbólico mediante pentágonos regulares (hiperbólicos).
Fractal
La parte del diseño del cubo de la rueda formada por círculos completos es un ejemplo de la estructura fractal llamada Conjunto de Apolonio
Otra estructura fractal se muestra en las pirámides heptagonales del techo del horno. (En ambos casos, sólo se muestran las primeras iteraciones de la construcción que construiría el fractal si se continuara ad infinitum).
Traveling Salesman Problem (or TSP)
El diseño de la rejilla del horno del horno es un ejemplo de arte TSP. Dado un gran número de puntos en el plano, encontrar el camino cerrado más corto que visite cada punto se denomina Problema del Ajente Viajero (o TSP). Este problema de dificultad NP se ha estudiado ampliamente. El diseñador de la rejilla impuso que había que evitar en su mayor parte una región de tipo nudo celta; una vez encontrado el camino más corto, se borraron algunos de los segmentos del camino para crear un diseño de rejilla con muchas conexiones. (¡Sin ningún borrado, el corte por láser a lo largo de la trayectoria, que es una curva Jordan, habría provocado que la parte «interior» se cayera al final! Para la estabilidad estructural, era mejor omitir sistemáticamente el corte por láser de algunos segmentos de la trayectoria original de la TSP; uno de cada tres segmentos, en este caso).
Topology
La transformación «ratón de cerámica → taza → tortuga de cerámica» en el borde del carro expositor de la Panadería evoca una afirmación a la que son aficionados los matemáticos, según la cual «una taza de café es como una dona«, al menos topológicamente hablando: los límites de cada uno de estos dos objetos físicos pueden verse como una superficie cerrada con un agujero/mango, lo que los hace topológicamente equivalentes. El ratón y la tortuga de cerámica vuelven a tener la misma propiedad (sus ojos están representados por una perforación en la arcilla de lado a lado; esto hace el agujero), por lo que ambos son similares a una taza.
Manifold
El cuadro de la pared de la Panadería es una versión pintada de un dibujo de Bill Thurston en su Geometría y topología de tres-variedades (nunca se imprimió en la versión impresa del libro, pero está disponible digitalmente). Estas vías de tren son trayectorias geodésicas especiales en variedades hiperbólicas que son tangentes y salen en distintas direcciones – ¡si quiere saber más, lea el libro de Thurston!
El diseño de la puerta del horno de hierro fundido es el resultado de inversiones repetidas de círculos, inspiradas en las Perlas de Indra.
Una construcción similar, con muchas más inversiones y más cercana a la estrategia original de las Perlas de Indra, apareció en un reciente calendario de la AMS.
Periodic Orbit
La intrincada ventana pentagonal sobre la puerta muestra una bella órbita periódica para billares pentagonales; en este documento encontrará muchas más órbitas de este tipo.
Schrödinger equation
La ecuación que aparece en los bordes de los cuencos de la Panadería es la ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo), una ecuación diferencial parcial muy famosa, importante en mecánica cuántica. El nombre de Schrödinger está asociado a muchos aspectos de la mecánica cuántica; en concreto, el gato de Schrödinger desempeña un papel en un experimento mental diseñado por Schrödinger para mostrar la naturaleza de los «estados de superposición».
Arnold & Moser
Por último, los nombres delcocinero y su ayudante, Arnold y Mo[u]se, son un guiño a los famosos matemáticos Arnold y Moser, que trabajaron en Sistemas Dinámicos; uno de los célebres resultados al que están vinculados los nombres de ambos es el teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser (o K.A.M.). El nombre de Arnold también está vinculado al llamado «mapeo del gato«, un ejemplo de cartografía del cuadrado a sí mismo que tiene propiedades de mezclado; este mapeo se ilustra en otra parte de la instalación, en la Cabalgata.
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