Faro
Conexiones matemáticas
If you are at the exhibit…
La historia
El faro ilumina el mundo que lo rodea, permitiendo a los marinos navegar con seguridad por aguas desconocidas.
Look closely; what do you see?
Encima del faro hay dos fuentes de luz que proyectan luces y sombras. ¿Puede encontrar…
- ¿dos puntos de luz en las paredes, uno naranja y otro amarillo?
- ¿un patrón geométrico de luz blanca y sombra oscura en el techo?
Focus on… stereographic projection
La proyección estereográfica utiliza la luz para proyectar sombras a través de una esfera sobre un plano. Aquí, la superficie plana es el techo.
La proyección estereográfica conserva algunas propiedades geométricas mientras distorsiona otras. Por ejemplo, los ángulos de los triángulos en la esfera se conservan en la sombra (de modo que ángulos de noventa grados en la esfera se proyectan en ángulos de noventa grados en la sombra). Las longitudes no se conservan: las longitudes en la sombra aumentan cuanto más se aleja el plano de la esfera.
Las matemáticas de la proyección tienen implicaciones sociales y políticas. La proyección de Mercator es una forma de cartografiar los continentes de un globo terráqueo a un plano, pero las tierras más alejadas del ecuador adquieren un tamaño desproporcionado. ¿Cómo afecta esto a cómo percibimos nuestro mundo?
En este mapa de la Tierra en proyección Mercator, Groenlandia aparece casi tan grande como África, y la Antártida empequeñece a ambas. En realidad, África tiene más de 14 veces la superficie de Groenlandia y el doble de la Antártida.
Navigation
Los faros han quedado obsoletos en su mayor parte debido a la navegación por satélite. Tenga en cuenta que ambos tipos de
Fresnel lenses
Las lentes utilizadas en el faro de MatemAlquimia son
Heptagon
Uno de los principios organizadores del Faro es el heptágono regular. El heptágono desempeña un papel especial en la historia de las matemáticas, porque es el polígono regular más pequeño (es decir, el que tiene menos lados) que
Shapes
El faro se diseñó matemáticamente para que su soldadura resultara especialmente fácil, lo que requirió una precisa coincidencia de ángulos en el diseño de las distintas curvas. La espiral ascendente de la rampa exterior y la ligera forma de «jarrón» (con una «cintura» más estrecha en el centro que en la parte superior e inferior) debían combinarse con una espiral menos evidente de las tiras metálicas (casi) verticales para que esto fuera posible.
Más concretamente, la rotación local de cada curva se descomponía en la rotación alrededor de la normal (curvatura geodésica) y alrededor de la binormal (curvatura normal). Imagine ahora que suelda dos tiras de metal, con una sección transversal en forma de «T». La tira correspondiente a la barra superior de la «T» se corta de una chapa plana según la curvatura geodésica de la curva original; la tira correspondiente a la línea vertical de la «T» se corta igualmente de una chapa plana, aportando la curvatura normal. Al doblar y soldar las dos tiras entre sí, se integran esencialmente estas dos curvaturas para devolver la curva original completa. Éste fue el principio según el cual se diseñaron los componentes del faro, con la ligera diferencia de que la rampa en espiral tenía forma de «L» en lugar de «T».
Dodecahedron
La unidad de proyección del haz de luz está alojada en un dodecaedro. Puede considerarse que el dodecaedro remite a la simetría pentagonal presente de muchas formas en la cercana Panadería. Pero también tiene propiedades matemáticas muy especiales que lo distinguen de entre los
Una de estas propiedades, ilustrada aquí, se descubrió hace poco. En un camino rectilíneo sobre un poliedro usted camina derecho mientras está sobre una cara; en cada cruce de aristas, continúa sobre la nueva cara de modo que su camino forme el mismo ángulo a su derecha con la arista común que el que formaba a su izquierda en la cara anterior. (También podría imaginar la arista común como una bisagra; si imaginara que la nueva cara se articula hasta quedar en el mismo plano que la cara anterior, pero al otro lado de la bisagra, entonces su trayectoria sería una línea recta sin desviación). Si recorre un camino rectilíneo en un sólido platónico distinto del dodecaedro, partiendo de un vértice y pretendiendo volver a ese mismo vértice, siempre tocará otro vértice antes de volver al punto de partida. Jaydev Athreya, David Aulicino y Patrick Hooper mostraron ejemplos y clasificaron todas las posibles trayectorias rectas que evitan otros vértices. El límite entre el amarillo y el rojo en el dodecaedro del Faro sigue una de las trayectorias rectas que construyeron.
Stereographic projection
La proyección en el techo de un haz de luz diferente es un ejemplo de proyección estereográfica: la sombra del dibujo tallado en la esfera situada en la parte superior del Faro se proyecta en el techo (horizontal) mediante una fuente de luz situada en el punto más bajo de la esfera.
La proyección estereográfica es un ejemplo de un fascinante grupo de transformaciones, llamadas mapeos conformes – Se trata de transformaciones geométricas que preservan los ángulos (pero no las longitudes). Un ejemplo divertido utilizando proyecciones estereográficas en un vídeo matemático está aquí.
Otro mapeo conforme muy conocido es la proyección de Mercator, utilizada para muchos mapas geográficos.
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