Phare – Connexions mathématiques

L’histoire

Le phare éclaire le monde qui l’entoure et permet aux marins de naviguer en toute sécurité dans des eaux inconnues.

Look closely; what do you see?

Au sommet du phare se trouvent deux sources lumineuses qui projettent des ombres et des lumières. Pouvez-vous trouver…

• deux points lumineux sur les murs, l’un orange, l’autre jaune ?
• un motif géométrique de lumière et d’ombres au plafond ?

Focus on… stereographic projection

La projection stéréographique utilise la lumière pour projeter des ombres sur un plan à travers une sphère. Ici, la surface plane est le plafond.

La projection stéréographique préserve certaines propriétés géométriques tout en en déformant d’autres. Par exemple, les angles des triangles sur la sphère sont conservés dans l’ombre (les angles de quatre-vingt-dix degrés sur la sphère ont une projection sur le plan qui sont aussi des angles de quatre-vingt-dix degrés). Les longueurs ne sont pas conservées : les longueurs de la projection augmentent à mesure que le plan s’éloigne de la sphère.

Les mathématiques de la projection ont des implications sociales et politiques. La projection de Mercator permet de représenter les continents d’un globe sur une carte plane, mais les terres éloignées de l’équateur prennent une taille disproportionnée. Comment cela affecte-t-il notre perception du monde ?

Sur cette carte de la Terre selon la projection de Mercator, le Groenland apparaît presque aussi grand que l’Afrique, et l’Antarctique les éclipse tous les deux. En réalité, la superficie de l’Afrique est plus de 14 fois supérieure à celle du Groenland et deux fois supérieure à celle de l’Antarctique.

Les phares sont devenus pratiquement obsolètes en raison de la navigation par satellite. Notez que les deux types de navigation (par triangulation d’amers proches, comme des phares, ou en utilisant le GPS (Global Positioning Satellite)) reposent sur une bonne dose de mathématiques !

Les lentilles utilisées dans le phare de Mathémalchimie sont des lentilles de Fresnel, comme dans un vrai phare. Les lentilles de Fresnel ont été mises au point au XIX^e siècle par le physicien français Augustin-Jean Fresnel. Elles sont conçues pour permettre de fabriquer des lentilles puissantes en utilisant beaucoup moins de matériaux, ce qui permet de réaliser des faisceaux beaucoup plus focalisés, visibles à de plus grandes distances. La lentille de Fresnel a été appelée “l’invention qui a sauvé un million de navires“.

Un des principes d’organisation du phare est l’heptagone régulier. L’heptagone joue un rôle particulier dans l’histoire des mathématiques, car c’est le plus petit polygone régulier (avec le moins de côtés) qui ne peut pas être construit à la règle et au compas. Avant que cela ne soit prouvé, de nombreuses personnes s’y sont cassé les dents …

Le phare a été conçu mathématiquement pour rendre facile son soudage. Cela a nécessité une correspondance précise des angles lors de la création des différentes courbes. Pour y parvenir, la spirale ascendante de la rampe extérieure et la légère forme de “vase” (avec une “taille” plus étroite au milieu qu’en haut et en bas) ont du être associées à une spirale moins flagrante des piliers métalliques (presque) verticaux.

Plus précisément, la rotation locale de chaque courbe a été décomposée en rotation autour de la normale (courbure géodésique) et autour de la binormale (courbure normale). Imaginez maintenant que vous soudiez ensemble deux bandes de métal ayant une section transversale en forme de “T”. La bande correspondant à la barre supérieure du “T” est découpée dans une feuille plane selon la courbure géodésique de la courbe originale ; la bande correspondant à la ligne verticale du “T” est également découpée dans une feuille plane, en contribuant à la courbure normale. Le pliage et le soudage des deux bandes intègrent essentiellement ces deux courbures pour restituer l’intégralité de la courbe d’origine. C’est selon ce principe que les éléments du phare ont été conçus, à la seule différence que la rampe en spirale avait une forme en “L” plutôt qu’en “T”.

La source lumineuse du phare est logée dans un dodécaèdre. Le dodécaèdre peut être considéré comme une référence à la symétrie pentagonale présente à bien des égards dans la boulangerie voisine. Mais il possède également des propriétés mathématiques très particulières qui le distinguent des polyèdres de Platon : il est donc approprié de choisir ce polyèdre pour le bâtiment qui s’élève au-dessus du reste de l’installation.

L’une de ces propriétés, illustrée ici, n’a été découverte que récemment. Une trajectoire en ligne droite sur un polyèdre est défini comme ceci : vous marchez tout droit sur une face, puis à chaque croisement d’arête, vous continuez sur la nouvelle face de manière à ce que les angles entre trajectoires et arête soient les mêmes à droite après l’arête et à gauche avant l’arête. (Vous pouvez également imaginer le bord commun comme une charnière ; si l’on déplie la nouvelle face autour de la charnière, jusqu’à ce qu’elle se trouve dans le même plan que l’ancienne face, votre trajectoire sera une ligne droite sans déviation). Si vous marchez en ligne droite sur un solide de Platon différent du dodécaèdre, en partant d’un sommet et en cherchant à revenir à ce même sommet, vous passerez toujours par un autre sommet avant de revenir à votre point de départ. Jaydev Athreya, David Aulicino et Patrick Hooper ont construit des exemples et classé les trajectoires droites évitant d’autres sommets. La limite entre le jaune et le rouge sur le dodécaèdre du Phare suit l’une des trajectoires droites qu’ils ont construites.

La projection stéréographique fait partie d’un groupe fascinant de transformations, appelées les transformations conformes – il s’agit de transformations géométriques qui préservent les angles (mais pas les longueurs). Voici un exemple amusant de projection stéréographique dans une vidéo mathématique.

Une autre transformation conforme bien connue est la projection de Mercator, utilisée dans de nombreuses cartes géographiques.