Tortue
Connexions mathématiques
If you are at the exhibit…
L’histoire
Tess la tortue descend le chemin de Zénon en direction de la colline Intégral. Y parviendra-t-elle un jour ?
Look closely; what do you see?
Tess marche sur un chemin qui présente une disposition de pavés inhabituelle. Pouvez-vous déceler une relation entre la surface des pierres, la longueur de chaque groupe de pierres et l’emplacement de ces mêmes groupes le long du chemin ?
Focus on… infinity
Le chemin de Zénon porte le nom du philosophe grec Zénon d’Élée (vers 490 – 430 avant J.-C.). Le paradoxe de la dichotomie de Zénon suggère que, pour que Tess atteigne le bout du chemin, elle doive parcourir la moitié du chemin. Mais elle doit ensuite attindre la moitié de la longueur restante, et à une infinité d’autres moitiés par la suite. En théorie, cela prendrait une éternité ! En pratique, comment Tess pourrait-elle atteindre son objectif ?
Cherchez d’autres odes à l’infini dans cette scène :
- Les terrasses de Lebesgue et les falaises de Riemann s’inspirent des techniques d’intégration qui portent leur nom. Dans les deux cas, l’espace entier est mesuré en additionnant un nombre infini de sous-régions.
- Le cerf-volant triangulaire de Sierpiński de Tess et les flocons de Koch tombant sur le sommet de la montagne sont tous deux des exemples de fractales – des motifs auto similaires, c’est à dire qui se répètent d’eux-mêmes et qui peuvent se poursuivre indéfiniment.
- Le pavage de la coquille de Tess représente un motif infini inspiré du disque de Poincaré. La taille des heptagones diminue au fur et à mesure qu’ils se rapprochent du bord de la coquille, afin de recouvrir une surface de plus en plus grande du plan hyperbolique.
Pouvez-vous trouver des clins d’œil à l’infini ailleurs dans Mathemalchemy?
Poincaré disk
La coquille de Tess présente un pavage heptagonal du disque de Poincaré, un modèle du plan hyperbolique.
Zeno’s dichotomy paradox
Le chemin de Zénon fait allusion au paradoxe de la dichotomie de Zénon. Ce paradoxe est raconté de multiples façons. Dans la version originale, Zénon divise une tâche en une infinité de parties : il affirme que pour terminer une partie de la tâche, il faut d’abord avoir terminé la première moitié de cette partie, puis il répète l’argument à l’infini. Mathématiquement (mais pas philosophiquement), on peut énumérer le nombre infini de tâches obtenues, avec la première moitié, suivie de la moitié de ce qui reste, puis de la moitié du reste maintenant plus petit, etc. C’est écrit sur la liste des choses à faire de Tess.
Sierpiński
Tess fait voler un cerf-volant tétraédrique de Sierpiński de 3e itération, nommé d’après le mathématicien polonais Wacław Sierpiński -qui, selon le récit de Tess, lui a offert ce cerf-volant en guise de cadeau d’anniversaire.
Lebesgue & Riemann integration
Le mur de Riemann fait allusion, tant par son nom que par sa forme, à l’intégration de Riemann. Le panneau d’affichage de l’hôtel de Hilbert sur le mur de Riemann fait allusion au paradoxe du Grand Hôtel de Hilbert .
Les deux composantes de la Coline Intégrale, les terrasses de Lebesgue et les falaises de Riemann, font respectivement allusion, par leur nom et leur forme, à l’intégration de Lebesgue et à l’intégration de Riemann.
(Voici une discussion sur la comparaison de l’intégration de Riemann par rapport à celle de Lebesgue).
Koch snowflakes
Les flocons de Koch, jusqu’à la 5e itération de leur construction, tombent du ciel.
Les chroniques de Mathemalchemy : Flocons et lasers
