
Jardin
Connexions mathématiques
If you are at the exhibit… (Garden)
L’histoire
Les tamias jouent à un jeu avec des glands et des tablettes de chiffres babyloniens, tandis que les écureuils discutent des sculptures du jardin. Pendant ce temps, les abeilles et les papillons pollinisent un ensemble coloré de fleurs géométriques.
Look closely; what do you see?
En jouant avec les glands, les chipmunks ont trouvé un nombre premier. Pouvez-vous deviner de quel numéro il s’agit ?
Focus on… prime and composite numbers
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui peut seulement s’écrire comme le produit de lui-même et de 1. Par exemple, 5 ne peut s’écrire que comme le produit de 5 et de 1, tandis que 6 peut s’écrire à la fois comme le produit de 6 et de 1 et comme le produit de 3 et de 2. Six est un exemple de nombre composé.
Les chipmunks trient les nombres premiers et les nombres composés. Ils ont trouvé de nombreuses façons de disposer 12 glands en rangées égales et ont déterminé que 12 était un nombre composé. Mais il semble qu’il n’y ait pas de telles dispositions pour le 13 – il doit s’agir d’un nombre premier.
Dans le pré, les écureuils adoptent une approche plus avancée pour trouver les nombres premiers à l’aide d’un crible d’Eratosthène. Ils ont déjà éliminé des multiples de 2, 3 et 5 à l’aide de crible translucides. Pendant ce temps, les cribles de 7 et 11 arrivent…
If you are at the exhibit… (Reef)
L’histoire
La baie et les bassins résiduels sont peuplés de créatures aquatiques, de coraux hyperboliques et de coquillages polyédriques.
Look closely; what do you see?
Un polyèdre est une forme tridimensionnelle dont les faces sont plates et à bords droits. Dans le récif – et partout à travers Mathemalchemy – se trouvent des polyèdres fabriqués à partir de divers matériaux. Pouvez-vous repérer ceux qui sont déguisés en…
- des bernacles sur les quais ?
- des perles dans des coquillages ?
- les étamines et les pistils des fleurs le long du rivage ?
- des galets sur la plage ?
- des méduses nageant dans la baie ?
Focus on… polyhedra
À Mathemalchemy, quatre catégories de polyèdres, imprimés en 3D, sont représentées : les 5 solides de Platon, les 13 solides d’Archimède, les 92 solides de Johnson et les 13 exemplaires parmi l’infinité des prismes/antiprismes. Ils sont tous convexes, ce qui signifie que toute ligne tracée entre deux points de la forme reste entièrement à l’intérieur de celle-ci.
- Un solide de Platon est un polyèdre convexe dont les faces sont des polygones réguliers identiques. Les polygones réguliers ont des côtés et des angles égaux. Un cube est un exemple de solide de Platon. Il possède 6 faces carrées, 12 arêtes identiques et 8 sommets identiques.
- Les prismes et les antiprismes ont deux base qui sont un même polygone régulier translaté. Toutes leurs autres faces sont des polygones identiques qui joignent les deux bases. Dans les antiprismes, les côtés polygonaux ont une orientation alternée, alors que dans les prismes , ils ont la même orientation. Les prismes utilisés en mathématique ont des faces rectangulaires entre les bases, tandis que les antiprismes ont des faces triangulaires.
- Un solide d’Archimède est un polyèdre convexe dont les face sont composées d’au moins deux sortes de polygones réguliers, et dont les sommets sont identiques. (En général, les prismes et les antiprismes sont exclus des solides d’Archimède).
- Un solide de Johnson est un polyèdre convexe composé d’au moins deux polygones réguliers différents, sans restriction quant aux polygones qui se rencontrent à un sommet. (Habituellement, les prismes, les antiprismes et les solides d’Archimède sont exclus des solides de Johnson). Une pyramide à fond carré est un solide de Johnson. Il a une face carrée et quatre faces triangulaires. Le sommet de la pyramide, où les quatre triangles se rejoignent, est différent des quatre autres sommets, où le carré et deux triangles se rejoignent.
Une autre catégorie de polyèdres, appelés solides de Catalan, a inspiré les motifs de broderie des Envolées de Boules.
Voyez-vous comment ces différentes catégories de polyèdres sont représentées dans Mathemalchemy ?
Les jeunes tamias s’amusent à trier les nombres premiers sur une marelle. Ils utilisent des glands pour explorer les facteurs premiers, tout en tenant des tablettes d’argile recouvertes de chiffres cunéiformes babyloniens. Ils découvrent quels nombres sont premiers et lesquels sont composés, en utilisant la force brute et leurs outils limités : pour chaque chiffre, ils comptent exactement le nombre de glands, et voient ensuite s’ils peuvent les disposer en rangées d’une même longueur, en vérifiant si le résultat est juste ou s’il y a un reste.
Sieve of Eratosthenes
Les écureuils adoptent une approche plus avancée avec leur crible d’Eratosthène.



Ils se rendent d’abord compte qu’en tant que plus petit nombre entier supérieur à 1, le nombre 2 doit être premier ; comme aucun multiple non trivial de 2 ne peut être premier (puisqu’il a 2 comme diviseur), ils les “filtrent” (avec un crible coloré). Le nombre suivant le plus petit, 3, est toujours blanc lorsqu’ils l’atteingnent, il est donc également premier, et ils filtrent maintenant tous ses multiples en les colorant. En montant de plus en plus haut, en sautant les nombres déjà colorés, ils découvrent les nombres premiers un par un, en continuant à éliminer les multiples de chaque nouveau nombre premier. Dans la scène actuelle, les cribles colorés pour 2, 3 et 5 ont été insérés, et ceux pour 7 et 11 sont en approche. Comme les écureuils ne vérifient que jusqu’à 100 et que tous les nombres de 8 à 10 (la racine carrée de 100) ont déja été passés au crible, le crible pour 11 n’est en fait pas nécessaire : tous les multiples de 11 inférieurs à 100 auront déjà été filtrés après les tours précédents. À ce moment-là, tous les nombres inférieurs à 100 qui ne sont pas encore colorés sont premiers.
Gaussian integers
Les pavés marrons non uniformes du chemin du jardin représentent le résultat d’une recherche similaire au crible d’Erathostenes pour les entiers de Gauss, un analogue complexe des nombres entiers, composé de tous les nombres de la forme m+ni (où i2=-1).

Sur les dalles au sol, un petit carreau représente chaque entier gaussien avec |m| et |n| ne dépassant pas 7, avec le carreau du centre représentant le cas m=n=0. Sur l’une des dalle marrons non uniformes, seuls quatre petits carreaux sont blancs – ce sont les quatre racines de 1 (à savoir 1, -1, i et -i) ; ils ne comptent pas dans notre chasse aux nombres premiers gaussiens (tout comme 1 ne compte pas dans la liste des nombres premiers naturels) ; ce sont les seuls pour lesquels m2+n2=1. La prochaine valeur supérieure possible de m2+n2 est 2, lorsque |m| et |n| sont tous les deux égaux à 1. Il existe quatre entiers de Gauss correspondants, à savoir 1+i et les résultats de la multiplication de 1+i par i, -1 et -i (les autres racines de l’unité), ce qui donne 1-i, -1+i et -1-i. Ce sont donc les premiers nombres premiers gaussiens que nous trouvons. Leurs multiples non triviaux sont tous les entiers gaussiens dans lesquels |m|+|n| est pair et différent de 2 — la deuxième dalle marron et blanche montre tous ces nombres en blanc, ainsi que le zéro central et les quatre racines de l’unité : ils ont été “filtrés”, et seuls les carreaux marrons restants pourraient être des candidats au status de nombre premier. (Notez que cela signifie que l’entier 2 a été éliminé : puisque 2=(1+i)(1-i), ce n’est PAS un nombre premier dans les entiers de Gauss !) Ensuite, en cherchant des valeurs plus élevées pour m2+n2 parmi les carreaux encore marrons, on a 2+i (et les résultats de la multiplication avec les racines de l’unité, -1+2i, -2 -i et 1-2i) ainsi que son complexe conjugué 2-i (et 1+2i, -2+i, -1-2i). La troisième dalle, qui n’est pas entièrement marron, conserve donc tous les carreaux blancs de la dalle précédente et blanchie tous les multiples de 2+i, tels que 3+4i=(2+i)2 ou 5=(2+i)(2-i), qui étaient encore marrons après l’étape précédente ; la dalle suivante qui n’est pas entièrement marron efface également les multiples de 2-i. Et ainsi de suite… mais à l’échelle de nos dalles, rien ne changera désormais : le prochain nombre premier est 3, mais tous ses multiples pour lesquels ni |m| ni |n| n’excèdent 7 ont déjà été supprimés. Ainsi, la cinquième dalle, pas entièrement blanche est identique à la quatrième : le crible pour 3 est superflu à l’échelle que représentent les pavés, tout comme l’était celui pour 11, dans le cas du crible appliqué aux nombres entiers standards de 1 à 100.

Hexagonal tiling
Les falaises de Riemann constituent une des limites du jardin ; il s’agit de colonnes hexagonales verticales, dont le plan suit un pavage hexagonal. Les pavages hexagonaux sont présents dans la nature en de nombreux endroits, comme pour la disposition des cellules dans une ruche par exemple, et ici au dos du tableau du crible des écureuils.

Cette ruche particulière illustre la nature autosimilaire du pavage hexagonal en présentant quatre échelles successives : chaque échelle plus grande est obtenue en agrandissant d’un facteur √3 une l’échelle inférieure et en la faisant pivoter de 30 degrés. Les centres de toutes les cellules obtenue coïncident alors exactement avec un centre sur quatre des cellules de l’étape précédente.
La feuille qui s’est échappée de la Cavalcade est ornée d’une structure hexagonale reproduisant les premières lignes du triangle de Pascal — notez que les entrées impaires forment un triangle de Sierpinski!

Non-euclidean geometry
Le jardin et le récif présentent de nombreux exemples de surfaces ondulées qui illustrent la géométrie hyperbolique, un exemple de géométrie non euclidienne. Il existe deux types de géométrie non-euclidienne : sphérique et hyperbolique. Contrairement au plan et à sa géométrie euclidienne, où la somme des trois angles d’un triangle est toujours égale à 180 degrés, sur une sphère (surface à courbure positive constante), les triangles ont trois angles dont la somme est supérieure à 180 degrés. un triangle est une figure obtenue en allant d’un point A à un autre point B par le chemin le plus court possible, en continuant de la même manière de B à un troisième point C, puis en revenant à A. C’est l’une des caractéristiques d’une surface à courbure positive ; une autre façon de détecter sa nature non euclidienne est de se rendre compte que la circonférence d’un cercle d’un diamètre donné est inférieure à π fois ce diamètre.
Sur le plan hyperbolique (surface de courbure négative constante), qui a également une géométrie non euclidienne, la situation est inverse du cas sphérique : la somme des trois angles d’un triangle est inférieure à 180 degrés, et la circonférence d’un cercle de diamètre d est supérieure à π fois d. En géométrie sphérique et hyperbolique, le 5e postulat d’Euclide est violé : dans le cas sphérique, chaque fois que l’on choisit une ligne de plus court chemin et un point P à l’extérieur de cette ligne, le fait de marcher en ligne droite à partir de P dans n’importe quelle direction conduit finalement à une intersection avec la ligne – il n’existe donc pas de ligne passant par P et parallèle à la ligne originale. Dans le cas hyperbolique, il peut en exister plusieurs, comme cela est illustré sur la grande surface hyperbolique jaune dans le jardin, où les lignes droites sont représentées en rouge, et où l’on peut voir trois lignes distinctes passant par le même point, aucune d’entre elles n’intersectant une autre ligne.
Un autre artefact illustrant la géométrie hyperbolique est le tissu à carreaux vert et jaune recouvrant le pied de la colline, derrière les tamias. Sur un échiquier, des carrés de couleurs différentes définissant le motif se rencontrent par quatre ; à chaque coin, leurs quatre angles droits s’additionnent pour donner les 360 degrés auxquels on s’attend.
Sur ce tissu, les polygones qui se rencontrent à chaque sommet sont des pentagones réguliers ; la somme totale de leurs angles est d’environ 514 degrés, et empêche le tissu d’être plat – il s’agit à nouveau d’une surface à courbure négative. Pour plus d’informations sur la géométrie hyperbolique et les surfaces à courbure négative, cliquez ici.
Les surfaces à courbure négative sont très répandues dans la nature, par exemple dans les récifs coralliens et les champignons ou, plus près de nous, à l’intérieur de notre intestin. Elles constituent la solution naturelle pour créer une grande surface 2D dans une petite région 3D.
Alexander’s horned sphere
La sculpture métallique du jardin représente la sphère cornue d’Alexander, un contre-exemple important du début du 20e siècle. En 2D, une courbe fermée qui ne se coupe pas elle même délimite toujours deux régions (l’intérieur et le reste du plan 2D). Ellesi peuvent toujours correspondre de manière continue aux régions intérieure et extérieure du cercle unitaire. Avant la construction d’Alexander, on pensait qu’il pouvait en être de même pour toutes les surfaces fermées sans frontières et qui ne se coupe pas, en 3D. C’est-à-dire que si la région intérieure était simplement connexe (c’est à dire que toute courbe fermée contenue à l’intérieur de la région pouvait être réduite à un point de manière continue, sans quitter la région), elle et la région restante à l’extérieur correspondraient de manière similaire à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère unitaire. L’exemple de la sphère cornue d’Alexander a montré que cette croyance était erronée : la région intérieure (la région 3D enfermée par cette surface) peut être reliée de manière continue à l’intérieur d’une sphère unitaire, mais la région extérieure ne peut pas être reliée continuement à la région située à l’extérieur de la sphère.


Johnson solids
Tout au long des scènes du jardin et du récif, on trouve de nombreux exemples de polyèdres réguliers : les solides de Platon et d’Archimède sont tous présents, de même que plusieurs des solides de Johnson (les autres solides de Johnson se trouvent dans d’autres scènes). pour les solides de Johnson, seules les arêtes sont indiquées ; les solides d’Archimède ont certaines de leurs faces remplies, mais pas toutes, et les 5 solides de Platon ont toutes leurs faces remplies.
Origami
Le jardin et le récif contiennent également de nombreux objets en origami. L’origami traditionnel commence par une simple feuille de papier ; en suivant des séquences très précises qui impliquent de nombreuses actions de pliage, dépliage et repliage, des formes complexes peuvent être réalisées. Plusieurs formes du jardin et du récif (comme les roses) sont des objets en origami. Beaucoup d’autres sont des exemples d’origami modulaire, dans lequel on commence avec de nombreuses feuilles de papier ; après avoir plié ces feuilles individuelles en éléments identiques, les éléments sont habilement assemblés pour former des objets complexes et hautement symétriques, qui plaisent à tous ceux qui aiment les mathématiques ou la symétrie. De plus amples informations sur les liens entre les mathématiques et l’origami sont disponibles ici.