Jardin – Connexions mathématiques

L’histoire

Les tamias jouent à un jeu avec des glands et des tablettes de chiffres babyloniens, tandis que les écureuils discutent des sculptures du jardin. Pendant ce temps, les abeilles et les papillons pollinisent un ensemble coloré de fleurs géométriques.

L’histoire

La baie et les bassins résiduels sont peuplés de créatures aquatiques, de coraux hyperboliques et de coquillages polyédriques.

Les écureuils adoptent une approche plus avancée avec leur crible d’Eratosthène.

Ils se rendent d’abord compte qu’en tant que plus petit nombre entier supérieur à 1, le nombre 2 doit être premier ; comme aucun multiple non trivial de 2 ne peut être premier (puisqu’il a 2 comme diviseur), ils les “filtrent” (avec un crible coloré). Le nombre suivant le plus petit, 3, est toujours blanc lorsqu’ils l’atteingnent, il est donc également premier, et ils filtrent maintenant tous ses multiples en les colorant. En montant de plus en plus haut, en sautant les nombres déjà colorés, ils découvrent les nombres premiers un par un, en continuant à éliminer les multiples de chaque nouveau nombre premier. Dans la scène actuelle, les cribles colorés pour 2, 3 et 5 ont été insérés, et ceux pour 7 et 11 sont en approche. Comme les écureuils ne vérifient que jusqu’à 100 et que tous les nombres de 8 à 10 (la racine carrée de 100) ont déja été passés au crible, le crible pour 11 n’est en fait pas nécessaire : tous les multiples de 11 inférieurs à 100 auront déjà été filtrés après les tours précédents. À ce moment-là, tous les nombres inférieurs à 100 qui ne sont pas encore colorés sont premiers.

Les pavés marrons non uniformes du chemin du jardin représentent le résultat d’une recherche similaire au crible d’Erathostenes pour les entiers de Gauss, un analogue complexe des nombres entiers, composé de tous les nombres de la forme m+ni (où i²=-1).

Sur les dalles au sol, un petit carreau représente chaque entier gaussien avec |m| et |n| ne dépassant pas 7, avec le carreau du centre représentant le cas m=n=0. Sur l’une des dalle marrons non uniformes, seuls quatre petits carreaux sont blancs – ce sont les quatre racines de 1 (à savoir 1, -1, i et -i) ; ils ne comptent pas dans notre chasse aux nombres premiers gaussiens (tout comme 1 ne compte pas dans la liste des nombres premiers naturels) ; ce sont les seuls pour lesquels m²+n²=1. La prochaine valeur supérieure possible de m²+n² est 2, lorsque |m| et |n| sont tous les deux égaux à 1. Il existe quatre entiers de Gauss correspondants, à savoir 1+i et les résultats de la multiplication de 1+i par i, -1 et -i (les autres racines de l’unité), ce qui donne 1-i, -1+i et -1-i. Ce sont donc les premiers nombres premiers gaussiens que nous trouvons. Leurs multiples non triviaux sont tous les entiers gaussiens dans lesquels |m|+|n| est pair et différent de 2 — la deuxième dalle marron et blanche montre tous ces nombres en blanc, ainsi que le zéro central et les quatre racines de l’unité : ils ont été “filtrés”, et seuls les carreaux marrons restants pourraient être des candidats au status de nombre premier. (Notez que cela signifie que l’entier 2 a été éliminé : puisque 2=(1+i)(1-i), ce n’est PAS un nombre premier dans les entiers de Gauss !) Ensuite, en cherchant des valeurs plus élevées pour m²+n² parmi les carreaux encore marrons, on a 2+i (et les résultats de la multiplication avec les racines de l’unité, -1+2i, -2 -i et 1-2i) ainsi que son complexe conjugué 2-i (et 1+2i, -2+i, -1-2i). La troisième dalle, qui n’est pas entièrement marron, conserve donc tous les carreaux blancs de la dalle précédente et blanchie tous les multiples de 2+i, tels que 3+4i=(2+i)² ou 5=(2+i)(2-i), qui étaient encore marrons après l’étape précédente ; la dalle suivante qui n’est pas entièrement marron efface également les multiples de 2-i. Et ainsi de suite… mais à l’échelle de nos dalles, rien ne changera désormais : le prochain nombre premier est 3, mais tous ses multiples pour lesquels ni |m| ni |n| n’excèdent 7 ont déjà été supprimés. Ainsi, la cinquième dalle, pas entièrement blanche est identique à la quatrième : le crible pour 3 est superflu à l’échelle que représentent les pavés, tout comme l’était celui pour 11, dans le cas du crible appliqué aux nombres entiers standards de 1 à 100.

Les falaises de Riemann constituent une des limites du jardin ; il s’agit de colonnes hexagonales verticales, dont le plan suit un pavage hexagonal. Les pavages hexagonaux sont présents dans la nature en de nombreux endroits, comme pour la disposition des cellules dans une ruche par exemple, et ici au dos du tableau du crible des écureuils.

Cette ruche particulière illustre la nature autosimilaire du pavage hexagonal en présentant quatre échelles successives : chaque échelle plus grande est obtenue en agrandissant d’un facteur √3 une l’échelle inférieure et en la faisant pivoter de 30 degrés. Les centres de toutes les cellules obtenue coïncident alors exactement avec un centre sur quatre des cellules de l’étape précédente.

La feuille qui s’est échappée de la Cavalcade est ornée d’une structure hexagonale reproduisant les premières lignes du triangle de Pascal — notez que les entrées impaires forment un triangle de Sierpinski!

Le jardin et le récif présentent de nombreux exemples de surfaces ondulées qui illustrent la géométrie hyperbolique, un exemple de géométrie non euclidienne. Il existe deux types de géométrie non-euclidienne : sphérique et hyperbolique. Contrairement au plan et à sa géométrie euclidienne, où la somme des trois angles d’un triangle est toujours égale à 180 degrés, sur une sphère (surface à courbure positive constante), les triangles ont trois angles dont la somme est supérieure à 180 degrés. un triangle est une figure obtenue en allant d’un point A à un autre point B par le chemin le plus court possible, en continuant de la même manière de B à un troisième point C, puis en revenant à A. C’est l’une des caractéristiques d’une surface à courbure positive ; une autre façon de détecter sa nature non euclidienne est de se rendre compte que la circonférence d’un cercle d’un diamètre donné est inférieure à π fois ce diamètre.

Sur le plan hyperbolique (surface de courbure négative constante), qui a également une géométrie non euclidienne, la situation est inverse du cas sphérique : la somme des trois angles d’un triangle est inférieure à 180 degrés, et la circonférence d’un cercle de diamètre d est supérieure à π fois d. En géométrie sphérique et hyperbolique, le 5e postulat d’Euclide est violé : dans le cas sphérique, chaque fois que l’on choisit une ligne de plus court chemin et un point P à l’extérieur de cette ligne, le fait de marcher en ligne droite à partir de P dans n’importe quelle direction conduit finalement à une intersection avec la ligne – il n’existe donc pas de ligne passant par P et parallèle à la ligne originale. Dans le cas hyperbolique, il peut en exister plusieurs, comme cela est illustré sur la grande surface hyperbolique jaune dans le jardin, où les lignes droites sont représentées en rouge, et où l’on peut voir trois lignes distinctes passant par le même point, aucune d’entre elles n’intersectant une autre ligne.

Sur ce tissu, les polygones qui se rencontrent à chaque sommet sont des pentagones réguliers ; la somme totale de leurs angles est d’environ 514 degrés, et empêche le tissu d’être plat – il s’agit à nouveau d’une surface à courbure négative. Pour plus d’informations sur la géométrie hyperbolique et les surfaces à courbure négative, cliquez ici.

Les surfaces à courbure négative sont très répandues dans la nature, par exemple dans les récifs coralliens et les champignons ou, plus près de nous, à l’intérieur de notre intestin. Elles constituent la solution naturelle pour créer une grande surface 2D dans une petite région 3D.

Tout au long des scènes du jardin et du récif, on trouve de nombreux exemples de polyèdres réguliers : les solides de Platon et d’Archimède sont tous présents, de même que plusieurs des solides de Johnson (les autres solides de Johnson se trouvent dans d’autres scènes). pour les solides de Johnson, seules les arêtes sont indiquées ; les solides d’Archimède ont certaines de leurs faces remplies, mais pas toutes, et les 5 solides de Platon ont toutes leurs faces remplies.

Le jardin et le récif contiennent également de nombreux objets en origami. L’origami traditionnel commence par une simple feuille de papier ; en suivant des séquences très précises qui impliquent de nombreuses actions de pliage, dépliage et repliage, des formes complexes peuvent être réalisées. Plusieurs formes du jardin et du récif (comme les roses) sont des objets en origami. Beaucoup d’autres sont des exemples d’origami modulaire, dans lequel on commence avec de nombreuses feuilles de papier ; après avoir plié ces feuilles individuelles en éléments identiques, les éléments sont habilement assemblés pour former des objets complexes et hautement symétriques, qui plaisent à tous ceux qui aiment les mathématiques ou la symétrie. De plus amples informations sur les liens entre les mathématiques et l’origami sont disponibles ici.