Cavalcade – Connexions mathématiques

Les diagrammes de cette page présentent une version modernisée du calcul d’Archimède du volume d’une sphère. La réalisation d’Archimède est d’autant plus remarquable qu’il a calculé ce volume il y a près de deux mille ans, bien avant l’avènement du calcul infinitésimal, dans un contexte où les notions de zéro et de nombres négatifs n’étaient pas encore acceptées.

Le raisonnement clé est que le volume de la sphère combiné à celui du cône doit être égal à celui du cylindre, car la même relation s’applique à l’aire de leurs sections transversales à chaque hauteur. Le volume d’un cylindre est donné par la formule ^πr2h= ^2πr3, tandis que celui d’un double cône (plus facile à calculer) est de 2(1/3)^πr2h= (2/3)^πr3. En combinant ces deux formules, nous obtenons la formule moderne du volume d’une sphère, soit (4/3)^πr3.

En 1924, George Pólya a publié un article dans Zeitschrift für Kristallographie dans lequel il démontrait qu’il existe exactement dix-sept groupes de papier peint. En d’autres termes, si vous remarquez des motifs dans le plan qui se répètent dans deux directions non parallèles, comme sur le mur de la boulangerie et sur celui de la galerie d’art et de curiosités, ils présentent tous l’une des dix-sept structures de symétrie différentes. Cette figure, tirée de son document, montre une image représentative de chaque groupe de papier peint.

À l’époque, Pólya ne savait pas que Evgraf Federov avait déjà prouvé ce théorème 33 ans auparavant. Toutefois, l’article de 1924 a profondément marqué la culture mathématique. Au début de sa carrière artistique, M.C. Escher a découvert l’article de Pólya ainsi que son diagramme de classification, qui recoupait avec les explorations d’Escher des pavages réguliers du plan. Comme le documente Doris Schattschneider, mathématicienne et biographe d’Escher, Escher a copié chacune des tuiles de Pólya dans ses carnets, les a étudiées attentivement et a échangées des lettres avec Pólya, dans lesquelles il transmet son admiration et sa reconnaissance.

Cette page provient du journal mathématique de Gauss. On peut y voir la note sur l’observation qui sera appelée le théorème Eurêka de Gauss. Ce théorème stipule que tout nombre entier positif peut être exprimé comme la somme de trois nombres triangulaires. Un nombre est triangulaire s’il est possible de former un triangle équilatéral comptant ce même nombre de points dans un réseau triangulaire. Plus un triangle est grand, plus son nombre triangulaire est élevé. Les 6 premiers nombres triangulaires sont 0,1,3,6,10,15.

Sur la feuille, on peut voir, écrite à la main de Gauss,

EYPHKA : num = Δ + Δ + Δ

Cette feuille illustre plusieurs aspects du plan hyperbolique en une seule représentation. De gauche à droite, elle montre (en partie) un pavage du disque de Poincaré par des triangles hyperboliques réguliers, puis une subdivision de ce pavage en triangles hyperboliques plus petits, dont certains sont colorés en jaune pour générer un joli motif.

À droite, cette triangulation se transforme en une représentation 3D, dont les triangles sont égaux en taille euclidienne. Cela nécessite une surface avec beaucoup de relief pour tous les loger – cela rappelle les modèles au crochet de la géométrie hyperbolique dans le Jardin et le Récif.

La suite de Farey d’ordre N est la collection linéairement ordonnée des fractions de type p/q, dans lesquelles p et q sont des entiers positifs premiers entre eux, avec p compris entre 1 et q-1, et q ne dépassant pas N. Les suites de Farey possèdent des propriétés mathématiques étonnamment sophistiquées pour des objets aussi ordinaires. La figure de la feuille illustre les relations entre les suites de Farey de petit ordre et les cercles d’Apollonius remplissant l’espace entre les deux cercles de rayon ½ et de centres respectifs (0, ½) et (1, ½).

Un groupe diédral correspond au groupe des opérations de symétrie sur un polygone régulier à n côtés. Autrement dit, il s’agit d’un système arithmétique construit à partir des 2n façons différentes de tourner et de réfléchir le n-gon. Dans ce système, nous pouvons combiner des paires de mouvements, tout comme nous pouvons, par exemple, additionner des paires de nombres.

Cette feuille (ou plutôt cette collection de petites feuilles) illustre concrètement l’action des symétries du groupe diédral du carré. Il est appelé D4 par certains (les géomètres, car il est constitué des symétries du 4-gone) ou D8 par d’autres (les algébristes, car le groupe compte 8 éléments). La souris de MathémAlchimie, qui se trouve sur les tapis autour de la galerie d’art et de curiosités, subit une multitude de réflexions et de rotations, chacune ayant sa propre teinte. Les rotations pures ont des nuances de rose/rouge. Une réflexion ajoute une teinte de bleu. Le grand tableau coloré montre la table de multiplication (ou table de Cayley) du groupe ; les autres figures montrent la structure des sous-groupes de ce groupe diédral.

Le plan de Fano est le plus petit plan projectif fini ; il ne comporte que 7 points. Dans un plan projectif, chaque paire de points définit une ligne passant par ces deux points, et chaque paire de lignes se croise en un seul point. Le plan de Fano compte trois points sur chacune de ses sept lignes, et trois lignes passant par chacun de ses sept points. Si l’on veut le représenter sur un plan euclidien, certaines lignes doivent nécessairement être courbées. La figure de droite met en évidence les symétries en sacrifiant la ligne droite, tandis que la figure de gauche sert de mnémonique pour la table de multiplication des octonions.

Ce diagramme de Venn illustre les liens entre les mathématiques, l’art et l’abstraction ; les images associées à chaque région correspondent à la caractérisation de la région en tant qu’ensemble. Dans la région des maths isolée, on retrouve une tangente et des sécantes (des concepts clés du calcul différentiel). L’intersection des cercles « Math » et « Abstraction » contient un diagramme commutatif, et l’intersection des trois cercles contient une adaptation du pavage 30-45-90 du plan hyperbolique de Coxeter, un dessin abstrait qui plaît aux mathématiciens et aux artistes. La région des mathématiques et de l’art présente un pavage de poissons inspiré d’Escher, créé par Bronna Butler. Certains poissons nagent dans la zone réservée à l’art, puis s’échappent complètement du diagramme de Venn. Le titre fait référence au processus par lequel les couleurs des intersections des cercles sont créées, à partir des couleurs des régions isolées. Il existe différentes façons de mélanger les couleurs ; la « synthèse additive » consiste à superposer deux ou plusieurs faisceaux lumineux de couleurs différentes, pour les mélanger. Le rouge, le bleu et le vert remplissent les régions à un thème. Leurs synthèses additives deux à deux (magenta, jaune et cyan) remplissent les intersections de deux régions. La synthèse additive des trois couleurs initiales donne le blanc au centre du diagramme. Cette œuvre a été sélectionnée pour la galerie d’art mathématique de la conférence « Joint Mathematics Meeting » de 2021.

À ce sujet, vous pouvez regarder la vidéo suivante sur Vimeo :

Cette fiche concerne les écureuils du jardin qui explorent les nombres premiers à l’aide du crible d’Ératosthène. Lorsqu’ils les trouvent, les écureuils remarquent que certaines colonnes du tableau contiennent plus de nombres premiers que d’autres. Ils veulent explorer leur répartition, c’est-à-dire : combien de nombres premiers ont, dans notre notation standard en base 10, un dernier chiffre égal à 0, 1, 2,…, 9 ?

Il est évident que certains chiffres de fin, comme le 4, ne peuvent se trouver dans aucun nombre premier. Tout nombre dont la dernière unité est 4 est divisible par 2, ce qui signifie que ce n’est pas un nombre premier. Il n’y a également qu’un seul nombre premier dont l’unité est 2 (2 lui-même), tout comme il y en a seulement un avec une unité de 5 (5 lui-même). Par conséquent, les écureuils pourraient se demander combien de nombres premiers ont une unité de 1, 3, 7 ou 9. Y a-t-il des chiffres plus fréquents que d’autres ?

La réponse à cette énigme s’avère être assez intrigante. D’une part, le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques indique qu’à long terme, c’est-à-dire lorsque la taille des nombres premiers tend vers l’infini, ils sont répartis uniformément entre ces quatre possibilités. D’autre part, si nous nous arrêtons à n’importe quel point fini, il semble qu’il y ait plus de nombres premiers qui se terminent par 3 ou 7 que ceux qui se terminent par 1 ou 9 ! La fiche résume les données illustrant ce phénomène. Bien qu’il ait été prouvé que l’équipe (3,7) conserve l’avantage la plupart du temps, l’équipe (1,9) prend l’avantage infiniment souvent. La recherche se poursuit pour comprendre pleinement cette course (ainsi que d’autres courses similaires).

Lorsque l’on dessine un diagramme pour 3 ensembles tous contenus dans un ensemble S plus grand, dans lequel chacun des 3 ensembles est représenté par un cercle, il est facile de disposer les cercles afin que le diagramme illustre les huit possibilités pour un élément dans S (n’appartenir à aucun des trois ensembles, 3 façons d’appartenir à l’un mais pas aux deux autres, 3 façons d’appartenir à deux mais pas au troisième, ou d’appartenir aux trois). C’est ce qu’on appelle un diagramme de Venn. Pour trois ensembles, il est d’ailleurs facile de disposer les cercles de manière symétrique.

Cependant, pour 4 ensembles, il n’est pas possible de dessiner un diagramme de Venn (qui montrerait maintenant 2⁴ = 16 régions) où chacun des 4 ensembles serait représenté par un cercle : il faut envisager d’autres formes et remplacer les cercles par des courbes de Jordan plus générales.

Si on exige que chacune des 2⁴ régions soit connexée, il est impossible d’avoir une disposition symétrique. Les quatre courbes de Jordan ne peuvent pas être des versions de la même courbe disposées régulièrement autour d’un cercle. Le théorème de David Henderson stipule qu’un diagramme de Venn pour N ensembles dans lequel les 2^N possibilités sont représentées par des régions connectées, avec chacun des N ensembles étant délimité par une courbe de Jordan, peut avoir une symétrie de rotation si et seulement si N est premier. La feuille présente des dessins préliminaires de David Henderson lors de son travail sur ce sujet, ainsi que des diagrammes de Venn avec une symétrie de rotation pour les petits nombres premiers N. Cet article présente une discussion intéressante et met en évidence une lacune dans la démonstration initiale en la corrigeant. 

Cette feuille présente une représentation géométrique de l’extension du lemme de Dehn. Le lemme de Dehn stipule qu’une application linéaire par morceaux d’un disque dans une variété 3D, dont les singularités sont situées dans l’intérieur (topologique) du disque, implique l’existence d’une autre application linéaire par morceaux, qui est un plongement qui coïncide sur la frontière du disque. La preuve de ce théorème a une histoire curieuse : on pensait qu’elle avait été prouvée par Max Dehn en 1910, jusqu’à ce qu’Hellmuth Kneser trouve une lacune dans la preuve en 1929. Cette conjecture est restée incertaine jusqu’à ce que Christos Papakyriakopoulos en prouve une généralisation en 1957 : le théorème de la boucle. Ce résultat est crucial dans le développement de la topologie de l’espace 3D. En 1965, David Henderson propose, dans sa thèse de doctorat, une nouvelle extension résultant d’une interprétation plus géométrique. La question est alors reformulée ainsi : En prenant un disque singulier dont l’intérieur n’intersecte pas la frontière, comment le “transformer” en un disque non singulier, partageant certaines propriétés souhaitées avec le disque originel…

Voici la preuve traditionnelle du théorème de Pythagore : (1) relever les segments perpendiculaires sur les côtés du triangle, les continuer en carré adjacent au triangle; (2) montrer l’égalité des surfaces des rectangles à l’aide de la congruence des triangles, qui ont exactement la moitié de la surface de chacun de ces rectangles. Un argument similaire peut être utilisé pour des triangles arbitraires, et conduit à une observation intéressante qui étend le théorème de Pythagore et rend l’argument plus symétrique. C’est bien cela que célèbrent les triangles devenus papillons!

Fermat a prouvé ce fait magnifique : tout nombre premier qui est congru à 1 modulo 4 peut s’écrire comme la somme de deux carrés. Inversement, si un nombre premier impair peut s’écrire sous forme de la somme de deux carrés, il est congru à 1 modulo 4. Ici, nous voyons une autre preuve de ce fait, qui utilise le théorème de Minkowski : étant donné un réseau, toute région convexe symétrique par rapport à l’origine et qui a une surface suffisante doit contenir un point du réseau en plus de l’origine.

Les cerfs-volants tétraédriques ont été proposés pour la première fois par Alexander Graham Bell, qui est plus connu pour ses travaux pionniers sur le téléphone. La feuille présente l’en-tête de son article sur ce sujet. Ce type de cerf-volant se compose d’une structure extrêmement stable et de voiles qui captent le vent sous différents angles. La régularité du tétraèdre permet d’obtenir une structure solide avec un bon équilibre des charges.

Bell a rapidement amélioré son modèle à tétraèdre unique en y ajoutant plusieurs cellules. Les premiers modèles présentaient déjà une conception “fractale” rappelant le triangle de Sierpiński en 2 dimensions. Ce triangle est également « caché » dans le triangle de Pascal – il suffit de colorier l’emplacement des nombres impairs !

Emmy Noether était, de l’avis général, une mathématicienne étonnante et une personne amusante. Son portrait préféré la représente sur un bateau, souriant vers le photographe.

Le croquis ci-contre a été réalisé par Stephanie Magdziak, afin de préparer la création de plaquettes commémoratives en bronze, qui sont remises aux conférencières de l’ « ICM Emmy Noether » lors de la Conférence internationale des Mathématiciens , tous les 4 ans. Les deux formules ci-dessous sont également gravées sur ces plaquettes. (Vous trouverez plus d’informations sur les plaquettes dans cet article (PDF – 2.3MB).

Les formules renvoient aux deux résultats pour lesquels Emmy Noether est le plus connue : la formulation de la « condition de chaîne ascendante d’idéaux principaux”, une propriété fondamentale de certains anneaux spéciaux, aujourd’hui appelés anneaux noethériens, et le Théorème de Noether, selon lequel toute invariance d’un système physique par rapport à un groupe de transformations est liée à une loi de conservation. Ce résultat constitue un pilier de la physique mathématique. La page imprimée est une reproduction du début de l’article sur ce théorème. Ces deux résultats fondamentaux sont des éléments de base dans deux sous-disciplines des mathématiques. Elles sont aujourd’hui si éloignées l’une de l’autre, que leurs praticiens ignorent souvent qu’Emmy Noether est également admirée dans l’autre discipline.

Chaque nœud a son complément correspondant. Si l’on prend S3=R³ U {∞} et qu’on lui enlève le nœud (qui est un cercle plongé dans S³), l’espace résultant est une variété 3 dimensions appelé complément. La subtilité réside précisément à l’endroit où le nœud a été retiré. Chaque complément de nœud correspond à une décomposition polyédrique, qui permet de décrire la géométrie de la variété. Cette feuille montre un nœud de huit et sa décomposition en deux tétraèdres idéaux (avec les sommets enlevés). Les flèches et les couleurs illustrent la façon dont les deux tétraèdres doivent être assemblés pour obtenir le complément du nœud de huit.

Le nœud de huit a le volume hyperbolique le plus petit. La décomposition a été démontrée pour la première fois par William Thurston, dans The Geometry and Topology of Three Manifolds.

Les ondelettes sont des éléments constitutifs des transformées en ondelettes, dans lesquelles des fonctions générales sont décomposées en une combinaison linéaire de versions mises à l’échelle et translatées d’un modèle, l’ondelette. Ces transformations sont utiles dans les contextes où de nombreuses échelles sont en jeu. Par exemple, les transformées en ondelettes sont utilisées en traitement d’images, ainsi que dans l’analyse des singularités d’équations différentielles ou d’opérateurs intégraux.

Pour certaines ondelettes spécialement construites, les versions mises à l’échelle et translatées de la transformée constituent une base orthonormée. Ces bases sont utilisées dans des algorithmes de transformation dont l’implémentation numérique est très rapide, et qui utilisent des convolutions avec de courtes séquences numériques (également appelées filtres). La surface (dont la feuille illustre deux vues, une de l’avant et l’autre de l’arrière) illustre une famille à un paramètre d’ondelettes particulières, qui génère une base correspondant à des filtres numériques à seulement 4 coefficients. Cette famille relie l’ondelette de Haar à l’« ondelette féroce » peinte par OctoPi; D4 se trouve à environ 2/3 du chemin.

Aux États-Unis, les élections pour choisir les représentants au Congrès sont organisées par État. Le nombre de représentants d’un État au parlement est approximativement proportionnel à sa population. Les États qui comptent plus d’un représentant au parlement sont divisés en districts, qui doivent chacun élire un représentant. Les frontières de ces districts peuvent être redessinées tous les 10 ans pour assurer une population approximativement égale par district. Le découpage des circonscriptions peut aussi prendre en compte d’autres facteurs. Les autorités qui procèdent au redécoupage sont parfois accusées de charcutage électoral.

Les mathématiciens ont développé des outils algorithmiques non partisans pour évaluer l’équité d’un découpage de district. Par exemple, ils peuvent comparer les résultats électoraux à ceux obtenus dans des découpages géométriquement similaires. Les images de cette feuille proviennent de différentes études sur le sujet, qui ont été coordonnées par Moon Duchin et Jonathan Mattingly.

Les motifs existent naturellement dans la nature. Les coquilles de mollusques, tels que le Nautile nacré, le Syrinx aruanus et le Tectus niloticus (synonyme : Trochus niloticus), présentent une élégante structure en spirale semblable à une “spirale équiangulaire”, aussi connue sous le nom de “spirale logarithmique”. Pour chaque angle de rotation, la distance à l’origine de la spirale augmente toujours d’une valeur fixe.

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Cette feuille présente la première page d’un rapport technique de la NASA rédigé par Katherine Johnson. Ses calculs à la main ont été essentiels pour bon nombre des premiers vols spatiaux habités de la NASA, au cours des décennies 1950 et 1960. Dans les années ayant précédé ce travail, elle était déjà une pionnière en mathématiques. Elle a été recrutée à partir de son poste d’enseignante dans une école publique pour devenir l’une des trois premières étudiantes noires diplômées de l’université de Virginie occidentale. Ses contributions les plus célèbres au programme spatial américain sont ses calculs pour le vol orbital de John Glenn en 1962. En raison de la complexité de la trajectoire de vol, la NASA avait créé un nouveau réseau d’ordinateurs et de stations de suivi pour assurer le succès de la mission. Cependant, les machines étaient sujettes à des pannes et les astronautes étaient réticents à leur accorder leur confiance. Glenn lui-même refusa notoirement d’entreprendre la mission tant que Johnson n’aurait pas vérifié à la main chacun des résultats de l’ordinateur.

Katherine Johnson est l’une des mathématiciennes et ingénieures afro-américaines mises en lumière dans le livre Les Figures de l’Ombre (Hidden Figures) (écrit par Margot Lee Shetterly et publié en 2016) et dans son adaptation cinématographique. C’est un hommage qui aurait dû être rendu depuis longtemps à leurs exploits historiques. L’année précédente, à l’âge de 97 ans, Johnson a reçu la médaille présidentielle de la liberté (Presidential Medal of Freedom) en reconnaissance de ses travaux novateurs dans le domaine de l’exploration spatiale.

Depuis notre plus jeune âge, nous sommes familiarisés avec le concept selon lequel la somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180 degrés, ce qui correspond à π radians. Cependant, ce n’est qu’une partie de l’histoire. Cette histoire remonte à environ 2300 ans, lorsque Euclide a énoncé les cinq axiomes de la géométrie. Le cinquième axiome, connu sous le nom de postulat du parallèle, stipule :

Si un segment coupe deux droites en formant deux angles intérieurs du même côté dont la somme est inférieure à deux angles droits, alors, si on prolonge ces droites indéfiniment, elles s’intersecteront du côté où la somme des angles est inférieure à deux angles droits.

Plus communément, le postulat du parallèle est équivalent à l’énoncé suivant : pour un point qui n’est pas sur une droite donnée, il existe exactement une droite parallèle à la droite donnée passant par ce point. Nous pouvons prouver qu’une telle affirmation implique que la somme des angles d’un triangle est égale à π radians.

Pendant deux millénaires, des mathématiciens ont essayé en vain de prouver le cinquième postulat à partir des quatre premiers. Au XIX^e siècle, les mathématiciens Lobatchevski et Bolyai ont découvert une nouvelle géométrie en choisissant un cinquième axiome alternatif, dans lequel on suppose que, pour un point qui n’est pas sur une droite donnée, il y a au moins deux droites parallèles à la ligne donnée passant par ce point. Il en résulte une géométrie dans laquelle la somme des angles d’un triangle doit être inférieure à π radians.

On peut également envisager d’autres alternatives au cinquième axiome d’Euclide et construire ainsi une géométrie non euclidienne. Plus précisément, on peut supposer que, pour un point qui n’est pas sur une droite donnée, il n’y a pas de droites parallèles à la droite donnée passant par ce point. Un exemple de cette géométrie est la géométrie sphérique, où les grands cercles jouent le rôle des droites. Pour les triangles sur une sphère, la somme des trois angles est toujours supérieure à π radians.

Trois feuilles jumelles montrent des figures triangulaires pour les trois géométries. Dans le cas hyperbolique, la somme des angles est inférieure à π radians ; dans le cas elliptique, la somme est supérieure à π radians. Dans les deux cas, la valeur de la différence est égale à la surface du triangle. Dans le cas euclidien, qui sépare l’elliptique de l’hyperbolique et peut être considéré comme la limite lorsque le rayon de la sphère (pseudosphère) s’approche de l’infini, la somme des trois angles est exactement égale à π radians pour tous les triangles et ne donne aucune information sur leur surface.

Le célèbre mathématicien Vladimir Arnold a illustré les propriétés de mélange d’une simple application du carré [0,1]² dans lui-même en dessinant un chat sur le carré, puis en montrant comment le croquis en noir et blanc a été transformé par l’application. Cette construction, connue sous le nom de « chat d’Arnold« , a inspiré le nom du boulanger de Mathemalchemy. L’application illustrée ici se compose de plusieurs étapes : tout d’abord, la transformation linéaire de R ² avec la matrice [1 1;1 2], qui envoie [0,1]² dans un parallélogramme. Ensuite, les morceaux du parallélogramme qui sortent du carré [0,1]² sont replacés dans le carré [0,1]² en les translatant par les vecteurs [1;0] et [0;1] facteur un nombre entier approprié – les sections qui nécessitent un vecteur de transport différent sont colorées différemment. Les quatre triangles résultants remplissent parfaitement le carré [0,1]². À la suite de l’opération, le chat a été comprimé dans un sens et « étiré » dans un autre. En répétant l’application plusieurs fois, l’image transformée du chat s’approchera d’un gris uniforme.

La transformation du boulanger est une autre application du carré [0,1]² dans lui-même, qui est fortement mélangeante. Dans la transformation du boulanger traditionnelle (selon les mathématiciens), le carré est d’abord “aplati” (en appliquant la transformation linéaire avec la matrice [2 0;0 ½]), puis le morceau qui dépasse dans le carré voisin est “coupé” et replacé “sur le dessus” en le translatant par le vecteur [-1;½]. Cependant, les boulangers sont plus susceptibles de plier leur pâte aplatie — c’est pourquoi nous présentons une version culinairement plus fidèle, avec un chat “replié” ; cette application est également fortement mélangeante.