Boulangerie – Connexions mathématiques

L’histoire

Arnold le chat, aidé de son assistante-souris, prépare des pavages en biscuit, des bretzels noués et d’autres délicieuses friandises dans la boulangerie de Mandelbrot.

Look closely; what do you see?

Pouvez-vous trouver des motifs répétitifs…

• sur les souris du mur de la boulangerie ?
• sur les carreaux du sol de la boulangerie ?
• dans les biscuits disposés sur la plaque d’Arnold ?
• dans les dessins de biscuits sur la liste de la souris ?

Focus on… wallpaper groups

Dans la boulangerie, les motifs symétriques de souris sur le papier peint bleu illustrent ce que les mathématiciens appellent des groupes de papiers peints. Il existe en tout 17 groupes de papiers peints, classés selon différents types de symétries bidimensionnelles. La tapisserie de la boulangerie illustre les neuf groupes composés de réflexions simples, de réflexions glissantes et de rotations de 180°.

Les huit autres groupes de papiers peints, comprenant des rotations de 60º, 90º et/ou 120º, sont illustrés autre part par des images de souris : sur les paillassons devant la galerie d’art et de curiosités, sur la terrasse, ainsi que sur la tapisserie située à l’intérieur de la galerie.

Les groupes de papiers peints décrivent des motifs qui se répètent dans au moins deux directions, tandis que les groupes de frises décrivent des motifs qui se répètent dans une seule direction. Les souris en noir et blanc sur les tableaux autour de l’installation montrent les 17 groupes de frises bicolores.

Plusieurs motifs décoratifs de la boulangerie sont liés à des pentagones réguliers (fenêtre de la façade et porte d’entrée ; fenêtre du côté gauche) ou à la symétrie pentagonale (porte du four, roue du charriot extérieur).

Le four est pris en sandwich entre la vitrine de la boulangerie, au thème pentagonal, et le phare, au thème heptagonal. Ses parois et son toit sont décorés de motifs heptagonaux (ou 7-gonaux).

Le papier peint de la souris illustre 9 des 17 groupes de papiers peints. Il s’agit des 9 groupes qui ne comportent que des réflections, des réflections glissantes et des rotations à 180 degrés. Cela les rend faciles à reproduire à l’aide du tricot (la technique artisanale utilisée pour ce papier peint).

Les huit autres groupes de papier peint sont représentés autre part (près de la Terrasse et de la galerie d’art et de curiosités)

La forme des pi-cookies permet de paver le plan euclidien bidimensionnel, tout comme les autres formes proposées par Mo[u]se.

Un pavage différent est illustrée par les carreaux du sol, constituant un des pavages pentagonaux découverts par Marjorie Rice.

Un pavage de nature différente se trouve sur la roue du charriot de la boulangerie (contre le mur extérieur). Les arcs de cercle ouverts dans le dessin du moyeu de la roue représentent un pavage du disque hyperbolique par des pentagones réguliers (hyperboliques).

Les cercles complets du moyeu de la roue forment un exemple de structure fractale appelée ” Cercles d’Apollonius“.

Une autre structure fractale est représentée par les pyramides heptagonales du toit du four. (Dans les deux cas, seules les premières itérations de la construction de la fractale sont montrées, même si la véritable construction est composée d’une infinité d’itération).

La conception de la grille du four est un exemple d’Art TSP. Étant donné un grand nombre de points dans le plan, la recherche du chemin fermé le plus court qui passe par chaque point s’appelle le problème du voyageur de commerce (ou TSP pour Traveling Salesman Problem). Ce problème NP-difficile a été largement étudié. Le concepteur de la grille a imposé qu’une région ayant la forme d’un nœud celtique soit évitée. Une fois que le chemin le plus court a été trouvé, certains segments du chemin ont été effacés pour créer un dessin avec de nombreuses connexions. (Si aucun segement n’avait été effacé, la découpe au laser le long de la trajectoire, qui est une courbe de Jordan, aurait séparé la grille en deux parties distinctes! Pour des raisons de stabilité structurelle, il était préférable d’éviter de découper certains segments de la trajectoire originale. Dans notre cas, deux segment sur trois ont été découpés).

La transformation souris en céramique → tasse → tortue en céramique sur le bord du charriot de la boulangerie évoque une affirmation dont les mathématiciens sont friands : “une tasse est la même chose qu’un beignet” du moins topologiquement parlant : les frontières topologiques (surfaces extérieures) de ces deux objets peuvent être considérées comme une surface fermée avec un trou/une poignée, ce qui les rend topologiquement équivalents. La souris et la tortue en céramique ont aussi cette même propriété (leurs yeux sont représentés un trou traversant l’argile de part en part), de sorte qu’elles sont toutes deux semblables à une tasse.

L’image sur le mur de la boulangerie est une peinture inspirée d’un dessin de Bill Thurston dans son ouvrage “Geometry and topology of three-manifolds” ( Géométrie et topologie des variétés 3D, qui n’a jamais été imprimé en tant que livre mais qui est disponible sous forme numérique). Les voies ferrées dont il y est question sont des trajectoires géodésiques sur des variétés hyperboliques, qui sont tangentes mais partent dans des directions différentes – pour en savoir plus, lisez le livre de Thurston !

Le motif de la porte du four en fonte est le résultat d’inversions de cercles répétées, inspirées du livre “Indra’s Pearls“.

Une construction similaire, avec beaucoup plus d’inversions et plus proche de la stratégie originale de “Indra’s Pearls”, a été présentée récemment lors d’un évènement AMS calendar.

La décoration du mur arrière et la poignée de porte représentent le célèbre ensemble de Mandelbrot, qui figure également en bonne place sur l’enseigne de la boulangerie. Ce n’est pas un hasard si les biscuits mandelbrot sont également une spécialité de la boulangerie …

La fenêtre pentagonale, située au-dessus de la porte, représente une magnifique orbite périodique d’un billard pentagonal. De nombreuses autres orbites de ce type peuvent être trouvées dans ce document.

L’équation figurant sur les bords des bols de la boulangerie est l’équation (temporelle) de Schrödinger, une équation aux dérivées partielles très célèbre, importante en mécanique quantique. Le nom de Schrödinger est associé à de nombreux aspects de la mécanique quantique. Le chat de Schrödinger joue notamment un rôle dans une expérience de pensée conçue par le physicien éponyme pour mettre en évidence la nature des “états de superposition”.

Enfin, les noms du boulanger et de son assistante, Arnold et Mo[u]se, sont un clin d’œil aux célèbres mathématiciens Arnold et Moser, qui ont travaillé sur les systèmes dynamiques. L’un des célèbres résultats auxquels leurs noms sont liés est le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser (ou K.A.M.). Le nom d’Arnold est également lié à ce que l’on appelle la “transformation du chat“, un exemple d’application du carré dans lui-même qui a des propriétés de mélange ; cette transformation est illustrée ailleurs dans l’installation, dans la Cavalcade.