Colcha de criptografía – Conexiones matemáticas

El candado del centro de la colcha (quilt) capta inmediatamente su atención y señala el tema de la colcha: secreto y seguridad. La tela principal del candado es la misma que se utiliza para el borde, uniendo visualmente toda la colcha.
Alrededor del candado hay 0 y 1: un código binario. ¿Puede averiguar qué dice? Como pista, ¡el código binario utiliza codificación ASCII de 8 bits!

Este bloque ilustra el concepto de criptografía de clave pública, y de RSA en particular. Los elementos sombreados son información privada, pero todo lo demás que aparece en las burbujas de diálogo se declara públicamente para que cualquiera pueda oírlo. Utilizando la información privada, sobre todo la factorización de n en primos, la ardilla rayada puede descifrar el mensaje de la ardilla. Decidimos utilizar el lenguaje de las flores para el mensaje, ya que esta escena está relacionada con el jardín. Tomamos la decisión final sobre el diseño a principios de enero, poco después de los disturbios en el Capitolio, y elegimos la flor de loto para representar la calma y la paz.

La historia de Tess fue la primera escena desarrollada para la instalación MatemAlquimia. En el bloque de la colcha que representa su escena, tenemos su papalote con una llave colgando de ella. Es una referencia a la llave que puede abrir el candado central, pero también al experimento de la cometa y la llave de Benjamin Franklin para explorar la electricidad. Con esta electricidad, Tess desencadenó el desarrollo de todas las demás escenas.

Este bloque muestra el paso de «codificación» del código de Hamming, un código de corrección de errores. La idea que subyace a los códigos de corrección de errores es que el mensaje puede corromperse en la transmisión, y el receptor necesitará tener una forma de corregir lo que recibe para recuperar el mensaje original. En este bloque, la persona que envía el mensaje 0111 añade dígitos adicionales que ayudarán al receptor a asegurarse de que puede averiguar cuál era el mensaje, incluso si un dígito se cambia accidentalmente. Para el paso de decodificación, ¡consulte el Bloque K!

Este bloque ofrece una representación estilística de blockchain, la matemática que hay detrás de las criptodivisas como el bitcoin.

Blaise de Vigenère es conocido como el creador de la sustitución polialfabética, ya que escribió Traité des Chiffres, en 1585, en el que cataloga los métodos de cifrado y da una clave para resolver los cifrados polialfabéticos. En el cifrado de Vigenère, se utilizan varios desplazamientos diferentes del alfabeto para codificar el mensaje, lo que lo hace más complicado que el cifrado de César, que sólo utiliza un desplazamiento.

Las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones de la forma y² = x³ + ax + b. La criptografía de curvas elípticas es un criptosistema de clave pública que utiliza el hecho de que existe una forma de sumar dos puntos de una curva elíptica para obtener un tercer punto. El bloque muestra cómo sumar un punto P a sí mismo.

La criptografía moderna depende de los ordenadores y, por tanto, de la electricidad. Este bloque también está relacionado con el bloque del papalote y la llave de Tess.

Una forma en que la gente mantenía en secreto los mensajes en épocas anteriores a la criptografía moderna era con el bloqueo de cartas, formas intrincadas de doblar y sellar sus cartas para que quedara claro si alguien había abierto la carta. Esto era popular en los siglos XVII y XVIII, cuando las cartas se doblaban sobre sí mismas sin sobres. Muchas personas desarrollaron sus propias formas de cerrar sus cartas. Las palomas se utilizaron para llevar mensajes entre personas a través de largas distancias desde la antigüedad hasta que se introdujeron los teléfonos.

En el problema de la mochila, una persona introduce un conjunto de pesas en la bolsa, y la cuestión es si se puede decir qué pesas se utilizaron si lo único que se sabe son las posibles pesas utilizadas y el peso total de la bolsa. Por ejemplo, si usted supiera que las pesas pueden ser de 1, 2, 5 ó 10 libras, y la mochila pesa 16 libras, ¿podría usted decir qué pesas se utilizaron? ¿Y si cada peso puede utilizarse como máximo una vez? En un criptosistema de mochila simple, el mensaje oculto es qué pesas hay en la mochila y el mensaje cifrado es el peso total. Aunque se han roto criptosistemas de mochila más sencillos, se cree que algunos criptosistemas de mochila modernos son buenos candidatos para la criptografía post-cuántica.

Los criptosistemas basados en retículas, como GGH y NTRU, utilizan problemas difíciles sobre retículas para ocultar mensajes. Un problema reticular difícil es el problema del vector más corto, que en un ejemplo sencillo le pide que encuentre una combinación entera de vectores (por ejemplo, (4; 7) y (7; 11)) que tenga coeficientes más pequeños. A veces, una base «mala» (como los vectores dados) es la clave pública que se utiliza para cifrar, mientras que la base secreta «buena» de vectores más cortos es la clave privada que se utiliza para descifrar. En este bloque, podemos ver una retícula con la base pública de vectores más largos claramente indicada, mientras que la base privada es menos obvia. Los criptosistemas basados en retículas son candidatos importantes para la criptografía post-cuántica.

¡El ADN es el código de la vida! Este bloque también hace referencia a la escena Nudosa
de la instalación (con el barco en la bahía) con los enredos de los nudos. El ADN está anudado para encajar dentro de las células, y es un complicado problema matemático averiguar cómo «desanudar» el ADN para replicarlo.

Aunque Julio César mencionó el método de entrega de un mensaje de campaña en su Guerra de las Galias, fue Suetonio quien relató que el César escribía a sus amigos sustituyendo una letra del alfabeto por otra 3 lugares más adelante, sin cambiar el orden del alfabeto.

En este bloque, vemos el extremo receptor del Bloque A, el bloque superior izquierdo. El mensaje del bloque A (que se rellenó con información adicional) se recibió con un error, y este bloque muestra el paso de corrección del error. Tras algunos cálculos, se recupera el mensaje original. El uso de códigos de corrección de errores, como el código de Hamming, permite garantizar que los mensajes recibidos son iguales a los deseados. Se utilizan en muchas aplicaciones, como los dígitos de control de los números de las tarjetas de crédito o los códigos de barras. El mensaje de nuestros dos bloques es una referencia al mes en que finalmente nos reunimos para completar la instalación, ¡y se considera un número de la suerte!

Algunos criptosistemas se basan en la idea de que factorizar números grandes es un problema difícil. Por ejemplo, en RSA, una clave pública es un número compuesto que es el producto de dos grandes primos. Los dos primos son la clave privada secreta que se utiliza para descifrar los mensajes, por lo que si fuera posible factorizarlos fácilmente, cualquiera tendría la información necesaria para descifrar un mensaje. El algoritmo ro de Pollard es un método para factorizar números que son el producto de dos primos. Recibe su nombre de la letra griega rho (ρ) porque es un proceso iterativo que acaba creando un ciclo, que puede visualizarse como la forma ρ. Y por si se lo estaba preguntando, este algoritmo no es lo bastante eficaz para atacar a RSA dado el tamaño de los primos que se utilizan actualmente.

La conversión de cifradores de disco a discos de rotor se produjo ya en la época de Thomas Edison, aunque se desconoce el uso que se haya hecho de tal máquina. El uso más notorio que se conoce es el retardo que indicaba a los rotores cómo desplazarse y el sistema de rotores de la Máquina Enigma utilizada por ambos bandos en la Segunda Guerra Mundial.

El cifrado Pigpen (Jaula de cochino) es uno de esos cifrados cuyos orígenes se desconocen debido a su simplicidad y a su escasa utilidad en la sociedad moderna. La base son dos cuadrículas de juego de gato, así como dos grandes cuadrículas en X con el segundo de cada una con un punto en la cuadrícula. A cada lugar se le asigna una letra del alfabeto, y para representarla se utiliza una réplica de su «jaula».

Este bloque muestra la estructura especial de los números enteros módulo un número primo (en el caso de este bloque concreto, el primo es 19). Si se excluys el 0, todo número módulo 19 es una potencia de 2; a esto nos referimos cuando decimos que 2 es una raíz primitiva módulo 19. Todo número primo tiene una raíz primitiva, y las raíces primitivas se utilizan, por ejemplo, en el intercambio de claves Diffie-Hellman, en el que dos personas pueden comunicar información públicamente, pero acaban teniendo un secreto compartido.

Los antiguos incas utilizaban patrones de nudos en cuerdas como forma de codificar datos numéricos. Como en un quipu histórico, los nudos de este bloque registran números y varios conjuntos de hebras suman el mismo valor. Se cree que se trataba de una especie de contabilidad o corrección de errores.

Este bloque representa la seguridad de la criptografía. Confiamos en la criptografía para proteger nuestros secretos, como los números de nuestras tarjetas de crédito y otros datos personales. El robo de secretos parece medieval, y necesitamos una defensa.

Para ocultar el mensaje, se escribe en una fina tira de papel mientras se envuelve en un palo. Una vez que se retira el papel del palo, las letras se desordenan. La clave para descifrar el mensaje es qué diámetro de palo utilizar. Debido a las limitaciones técnicas de la época (siglos I a XII d.C.), era difícil conseguir un cilindro uniforme de un diámetro determinado.

En este bloque, dos tejedoras utilizan la clave Morse en sus tejidos para mantener una conversación. Una utiliza cables para codificar el mensaje; la otra utiliza colores. Durante la Primera y la Segunda Guerra Mundial, las mujeres ocultaron mensajes en clave Morse en sus tejidos utilizando nudos en el hilo. Famosamente, Madame Defarge tejía nombres en sus bufandas en la novela de Charles Dickens Historia de dos ciudades. Los patrones de punto de las piezas del edredón son su propio tipo de código. Tiene que conocer la clave para entender las instrucciones.

Nuestras huellas dactilares son un código único para cada uno de nosotros. Los mercaderes árabes ya observaron en el año 850 que los mercaderes chinos utilizaban las huellas dactilares para autentificar los contratos. Sir Henry T Head vio esto en la India hacia 1858, pero no se le dio una base científica hasta casi 30 años después. Parte del problema era cómo indexar las crestas y los patrones. Entre los relatos de ficción sobre huellas dactilares se encuentran el de Pudd’nghead Wilson de Mark Twain en 1893 y el de Sir Conan Doyle en una historia de Sherlock Holmes de 1903 ambientada en 1894. Ahora muchos de nosotros utilizamos nuestras huellas dactilares como llave para abrir dispositivos electrónicos en lugar de utilizar una contraseña tradicional.