Panadería
Conexiones matemáticas
Nuestro equipo preparó, sazonó y llenó la Panadería de Matemáticas. Explóralas abriendo los conceptos que aparecen a continuación. ¡Buen provecho!
Si está en la exposición…
La historia
Arnold el Gato, ayudado por su hábil ratón ayudante, hornea galletas teseladas, pretzels anudados y otras delicias en la Panadería de Mandelbrot.
Mira con atención; ¿qué ves?
¿Puedes encontrar patrones repetitivos en…
- ¿Los ratones de la pared de la panadería?
- ¿Las baldosas del suelo de la panadería?
- ¿Las galletas de la bandeja de Arnold?
- ¿Los diseños de galletas de la lista del ratón?
Enfoque en… los grupos de papel tapiz
Los patrones simétricos del papel pintado azul con temática de ratón de la panadería ilustran lo que los matemáticos llaman grupos de papeles pintados. Hay 17 grupos de papeles pintados en total, clasificados por distintos tipos de simetrías bidimensionales. El tapiz de la panadería ilustra los nueve grupos que presentan sólo reflejos, reflejos de deslizamiento y rotaciones de 180º.
Los ocho grupos de papeles pintados restantes, que presentan rotaciones de 60º, 90º y/o 120º, están ilustrados con ratones decorativos en otros lugares: en las alfombras del suelo situadas delante de la Tienda de Curiosidades y en la Terraza, y en el tapiz acolchado del interior de la Tienda de Curiosidades.
Los grupos de papel pintado describen motivos que se repiten al menos en dos direcciones, mientras que los grupos de friso describen motivos que se repiten en una sola dirección. Los ratones en blanco y negro de las pizarras que rodean la instalación muestran los 17 grupos de frisos bicolores.
Pentágonos y heptágonos
Varios motivos decorativos de la Panadería están relacionados con pentágonos regulares (decoración de la ventana y la puerta delanteras; decoración de la ventana lateral izquierda) o con la simetría quíntuple (puerta del horno, rueda del carro exterior).
El horno, situado entre el escaparate de la Panadería, de temática pentagonal, y el Faro, de temática heptágono, utiliza motivos heptagonales (también conocidos como 7-gonales) en sus paredes laterales y en el techo.
Grupos de papel tapiz
El papel pintado del ratón ilustra 9 de los 17 grupos de papeles pintados; son los 9 grupos que presentan sólo reflejos, reflejos de deslizamiento y rotaciones de 180 grados, lo que los hace fáciles de aplicar con el tejido (la técnica artesanal utilizada para este papel pintado).
Los 8 grupos de papeles pintados restantes están ilustrados en otros lugares del Centro (cerca de la Tienda de Curiosidades y en la Terraza).
Mosaico
La forma de galleta pi tesela el plano euclídeo bidimensional, al igual que las demás formas propuestas por Mo[u]se.
Una teselación diferente es la ilustrada por el alicatado del suelo, que es una de las teselaciones pentagonales descubiertas por Marjorie Rice.
En la rueda del carro expositor de la Panadería (contra la pared exterior) hay un embaldosado de naturaleza diferente. Los arcos circulares no cerrados del diseño del cubo de la rueda muestran un embaldosado del disco hiperbólico mediante pentágonos regulares (hiperbólicos).
Fractales
La parte del diseño del cubo de la rueda formada por círculos completos es un ejemplo de la estructura fractal llamada junta apolínea.
Otra estructura fractal se muestra en las pirámides heptagonales del techo del horno. (En ambos casos, sólo se muestran las primeras iteraciones de la construcción que construiría el fractal si se continuara ad infinitum).
Problema del viajante (o TSP)
El diseño de la rejilla del horno del horno es un ejemplo de TSP Art. Dado un gran número de puntos en el plano, encontrar el camino cerrado más corto que visite cada punto se denomina Problema del Vendedor Viajero (o TSP). Este problema de dificultad NP se ha estudiado ampliamente. El diseñador de la rejilla impuso que había que evitar en su mayor parte una región de tipo nudo celta; una vez encontrado el camino más corto, se borraron algunos de los segmentos del camino para crear un diseño de rejilla con muchas conexiones. (¡Sin ningún borrado, el corte por láser a lo largo de la trayectoria, que es una curva Jordan, habría provocado que la parte «interior» se cayera al final! Para la estabilidad estructural, era mejor omitir sistemáticamente el corte por láser de algunos segmentos de la trayectoria original de la TSP; uno de cada tres segmentos, en este caso).
Topología
La transformación ratón de cerámica → taza → tortuga de cerámica en el borde del carro expositor de la Panadería evoca una afirmación a la que son aficionados los matemáticos, según la cual «una taza de café es como un donut«, al menos topológicamente hablando: los límites de cada uno de estos dos objetos físicos pueden verse como una superficie cerrada con un agujero/mango, lo que los hace topológicamente equivalentes. El ratón y la tortuga de cerámica vuelven a tener la misma propiedad (sus ojos están representados por una perforación en la arcilla de lado a lado; esto hace el agujero), por lo que ambos son similares a una taza.
Variedades
El cuadro de la pared de la Panadería es una versión pintada de un dibujo de Bill Thurston en su Geometría y topología de tres-manifolds (nunca se imprimió como versión en libro, pero está disponible digitalmente). Estas vías de tren son trayectorias geodésicas especiales en variedades hiperbólicas que son tangentes y salen en distintas direcciones – ¡si quieres saber más, lee el libro de Thurston!
El diseño de la puerta del horno de hierro fundido es el resultado de inversiones repetidas de círculos, inspiradas en las Perlas de Indra.
Una construcción similar, con muchas más inversiones y más cercana a la estrategia original de las Perlas de Indra, apareció en un reciente calendario de la AMS.
Órbita periódica
La intrincada ventana pentagonal sobre la puerta muestra una bella órbita periódica para billares pentagonales; en este documento encontrarás muchas más órbitas de este tipo.
Ecuación de Schrödinger
La ecuación que aparece en los bordes de los cuencos de la Panadería es la ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo), una ecuación diferencial parcial muy famosa, importante en mecánica cuántica. El nombre de Schrödinger está asociado a muchos aspectos de la mecánica cuántica; en concreto, el gato de Schrödinger desempeña un papel en un experimento mental diseñado por Schrödinger para mostrar la naturaleza de los «estados de superposición».
Arnold y Moser
Por último, los nombres de Baker y su ayudante, Arnold y Mo[u]se, son un guiño a los famosos matemáticos Arnold y Moser, que trabajaron en Sistemas Dinámicos; uno de los célebres resultados al que están vinculados los nombres de ambos es el teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser (o K.A.M.). El nombre de Arnold también está vinculado al llamado «mapa del gato«, un ejemplo de cartografía del cuadrado a sí mismo que tiene propiedades de mezcla; este mapa se ilustra en otra parte de la instalación, en la Cabalgata.
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