Cabalgata – Conexiones matemáticas

Los diagramas de esta página esbozan una modernización del cálculo de Arquímedes del volumen de una esfera. Este logro es especialmente impresionante, ya que Arquímedes obtuvo el volumen dos milenios antes de la aparición del cálculo, en una época y un lugar en los que el cero y los números negativos no eran conceptos aceptados.

El argumento esencial es que el volumen de la esfera más el volumen del cono deben ser iguales al volumen del cilindro, porque la relación correspondiente es válida para el área de sus secciones transversales bidimensionales a cada altura. Dado que el volumen del cilindro es πr²h= 2πr^3, y el volumen del doble cono (fórmula más sencilla de deducir) es 2(1/3)πr²h= (2/3)πr³, obtenemos la fórmula moderna del volumen de una esfera, (4/3)πr³.

Esta imagen es un ejemplo de un Paisaje Estelar Algebraico, descrito por Edmund Harriss, Kate Stange y Steve Trettel en el artículo Paisajes estelares numéricos algebraicos. Estos intrincados patrones muestran la belleza de resolver ecuaciones polinomiales. Los puntos de esta imagen representan las raíces complejas de los polinomios cúbicos ax³+bx²+cx+b= 0, cuyo tamaño se hace más pequeño a medida que el polinomio se hace más complejo (intuitivamente, esto se relaciona con que a,b y c se hacen más grandes, pero en realidad es la raíz cúbica del discriminante). El punto hacia el que parece atraer toda la imagen es i, la raíz cuadrada de -1.

Los puntos de esta imagen representan las raíces complejas de los polinomios cúbicos ax³+bx²+cx+b= 0, cuyo tamaño se hace más pequeño a medida que el polinomio se hace más complejo (intuitivamente, esto se relaciona con que a,b y c se hacen más grandes, pero en realidad es la raíz cúbica del discriminante). El punto hacia el que parece atraer toda la imagen es i, la raíz cuadrada de -1.

En 1924, George Pólya publicó un artículo en Zeitschrift für Kristallographie en el que demostraba que existen exactamente diecisiete grupos de papel tapiz. En otras palabras, si observa usted diseños en el plano que se repiten en dos direcciones no paralelas, como los de la pared lateral de la panadería y los de la pared trasera de la tienda de curiosidades, todos tienen una de las diecisiete estructuras de simetría diferentes. Esta figura de su trabajo muestra una imagen representativa de cada grupo de papel tapiz.

En aquel momento, Pólya ignoraba felizmente que Evgraf Federov ya había demostrado este teorema 33 años antes. No obstante, el artículo de 1924 tuvo un impacto duradero en la cultura matemática. Al principio de su carrera artística, M.C. Escher se topó con el artículo de Pólya y su diagrama de clasificación, que coincidía con las exploraciones del propio Escher sobre las teselaciones regulares del plano. Como documenta la matemática y biógrafa de Escher, Doris Schattschneider, Escher copió cada una de las teselaciones de Pólya en sus cuadernos, las estudió detenidamente y compartió su admiración y gratitud en las cartas que intercambió con Pólya.

Esta página pertenece al diario matemático de Gauss; podemos ver su anotación de lo que se conoció como el Teorema Eureka de Gauss. El teorema afirma que todo número entero positivo puede expresarse como la suma de tres números triangulares. Un número es triangular si cuenta el número de puntos de una red triangular que caen dentro de un triángulo equilátero. Cuanto mayor sea el triángulo, mayor será el número triangular; los 6 primeros números triangulares son 0,1,3,6,10,15.

En la hoja se puede leer, de puño y letra de Gauss,

EYPHKA: num = Δ + Δ + Δ

La imagen de esta hoja ilustra varios aspectos del plano hiperbólico en una visualización combinada. De izquierda a derecha, muestra (parte de) una teselación del disco de Poincaré mediante triángulos regulares (hiperbólicos), luego una subdivisión en triángulos hiperbólicos más pequeños de la triangulación en la que algunos de estos triángulos más pequeños están coloreados de amarillo para generar un bonito patrón.

Cerca de la derecha, esta triangulación «se eleva» en una visualización tridimensional que muestra todos los triángulos pequeños como iguales en tamaño euclidiano, lo que requiere muchos «volantes» en la superficie para proporcionar área suficiente para acomodarlos a todos – esto recuerda a los modelos de ganchillo de geometría hiperbólica del Jardín y el Arrecife.

La secuencia de Farey de orden N es la colección ordenada linealmente de todas las fracciones del tipo p/q, en la que p y q son enteros positivos primos entre sí, con p entre 1 y q-1, y q no superior a N. Las secuencias de Farey tienen propiedades matemáticas sorprendentemente sofisticadas para objetos tan mundanos. La figura de la hoja ilustra las relaciones entre las secuencias de Farey de bajo orden y círculos del tamiz de Apolonio situados entre el eje horizontal y los dos círculos con radio ½ y centros en (0, ½) y (1, ½) respectivamente.

Un grupo diedral es el grupo de simetrías de un n-ágono regular. En otras palabras, es un sistema aritmético construido a partir de las 2n formas distintas de girar y reflejar el n-ágono; en este sistema, podemos combinar pares de movimientos igual que podemos, por ejemplo, sumar pares de números.

Esta lámina (o más bien colección de pequeñas láminas) muestra concretamente la acción de las simetrías del grupo diedral del cuadrado, llamado D₄ por unos (geómetras, porque está constituido por las simetrías del 4-ágono) o D₈ por otros (algebristas, porque el grupo tiene 8 elementos). El ratón de MatemAlquimia de las alfombrillas de la Tienda de Curiosidades sufre reflejos y rotaciones en abundancia, cada uno indicado por su propio color. Las rotaciones puras tienen varios tonos de rosa/rojo; un reflejo añade algo de azul. La gran tabla coloreada muestra la tabla de multiplicar (o tabla de Cayley) del grupo; otras figuras muestran la estructura de subgrupos de este grupo diedral.

El plano de Fano es el plano proyectivo finito más pequeño; sólo tiene 7 puntos. En un plano proyectivo cada dos puntos determinan una única recta que pasa por ambos puntos, y cada dos rectas se intersecan en un único punto. El plano de Fano tiene 3 puntos en cada una de sus 7 rectas, y 3 rectas que pasan por cada uno de sus 7 puntos.

Para hacer un dibujo de esto en un plano euclídeo, algunas de las rectas tienen que dibujarse definitivamente no rectas. La figura de la derecha muestra mejor las simetrías, a costa de que ninguna línea parezca recta. La figura de la izquierda también funciona como mnemotecnia para la tabla de multiplicar de los octoniones.

Este diagrama de Venn ilustra las conexiones entre las matemáticas, el arte y la abstracción; las imágenes asociadas a cada región corresponden a la caracterización de la región como conjunto. La región de sólo Matemáticas presenta líneas secantes y tangentes (conceptos clave del cálculo diferencial), la intersección de sólo los círculos de Matemáticas y Abstracción contiene un diagrama conmutativo, y la intersección de los tres círculos contiene una adaptación del teselado 30-45-90 de Coxeter del plano hiperbólico, un diseño abstracto que atrae a matemáticos y artistas. La región de Matemáticas y Arte presenta un mosaico de patrones de peces al estilo de Escher, creado por Bronna Butler; algunos de los peces nadan hacia la región de sólo Arte, y luego escapan por completo del diagrama de Venn. El título se refiere a cómo los colores de las intersecciones de los círculos se crean a partir de los colores de las regiones de conjunto único. Hay distintas formas de mezclar los colores; la «mezcla aditiva» se refiere al proceso de mezclar colores utilizando dos o más haces de luz de distinto color. El rojo, el azul y el verde llenan las regiones de un solo sujeto; sus mezclas aditivas por pares magenta, amarillo y cian llenan las intersecciones de 2 regiones; y la mezcla aditiva de los tres colores originales forma el blanco del centro del diagrama . Esta obra fue seleccionada para la Galería de Arte Matemático de la Reunión Conjunta de Matemáticas de 2021, y puede ver el siguiente vídeo sobre ella en Vimeo.

Esta hoja se relaciona con las ardillas en el jardín que exploran los números primos con la Criba de Eratóstenes. A medida que encuentran los primos, las ardillas pueden notar que ciertas columnas de su tabla tienen más primos mientras que otras tienen menos. Podrían preguntarse cómo se distribuyen los primos en estas columnas, lo que equivale a preguntar: ¿cuántos primos tienen, en nuestra notación estándar en base 10, un último dígito igual a uno de los 10 valores posibles, 0, 1, 2, …, 9?

Por supuesto, algunas cifras finales, como el 4, no pueden aparecer en ningún primo. Cualquier número que acabe en 4, 6 u 8 es divisible por 2 y, por tanto, no es primo. Además, sólo hay un número primo que termine en 2 (el propio 2), y sólo hay un número primo que termine en 5 (el propio 5). Así que las ardillas podrían preguntarse en realidad: ¿cuántos primos terminan en 1 o en 3, 7, 9? ¿Hay más de unos que de otros?

La respuesta a esta pregunta es un tanto sorprendente y misteriosa. Por un lado, el Teorema de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas dice que a largo plazo (es decir, a medida que llevamos al límite infinito los tamaños de los primos que estamos considerando), los primos se distribuyen uniformemente entre estas cuatro posibilidades. En cambio, si nos detenemos en cualquier punto finito, ¡parece que hay más primos que terminan en 3 o en 7 que primos que terminan en 1 o en 9! La hoja muestra algunos datos que ilustran este fenómeno. Aunque se ha demostrado que el Equipo 3 y 7 mantiene la ventaja durante gran parte del tiempo, el Equipo 1 y 9 toma la delantera infinitamente a menudo. Comprender exactamente esta carrera (y otras similares) sigue siendo un área de investigación activa.

Al dibujar un diagrama en una hoja de papel bidimensional, para 3 conjuntos contenidos todos ellos en un conjunto mayor S, en el que cada uno de los 3 conjuntos está representado por un círculo y la propia hoja representa a S, es fácil disponer los círculos de forma que el diagrama muestre las ocho posibilidades de un elemento de S (podría no pertenecer a ninguno de los tres conjuntos menores; hay 3 formas en las que podría pertenecer a un conjunto menor pero no a los otros dos; hay de nuevo 3 formas en las que pertenece a dos conjuntos menores pero no al tercero; por último, podría pertenecer a los tres). Esto se llama diagrama de Venn; además, para 3 conjuntos es fácil disponer los círculos simétricamente.

Ya para 4 conjuntos no es posible dibujar un diagrama de Venn (que ahora mostraría 2⁴ = 16 regiones) en el que el límite de cada uno de los 4 conjuntos fuera un círculo: hay que considerar otras formas, y sustituir los círculos por curvas de Jordan más generales.

Si se impone que cada una de las 2⁴ regiones sea conexa, entonces no es posible una disposición simétrica: las cuatro curvas de Jordan no pueden ser simplemente la misma curva en cuatro versiones, obtenidas girando la misma plantilla para las cuatro. El teorema de David Henderson afirma que un diagrama de Venn para N conjuntos en el que todas las 2^N posibilidades están representadas por regiones conectadas, con cada uno de los N conjuntos delimitado por una curva de Jordan, puede tener simetría rotacional si y sólo si N es primo. La hoja muestra algunos de los dibujos preliminares realizados por David Henderson cuando trabajaba en esto, y algunos dibujos del diagrama de Venn con simetría rotacional para N primo pequeño. Este documento contiene una buena discusión y también señala y corrige una deficiencia en la demostración original.

Esta ficha ilustra una forma geométrica de ver y extender el Lema de Dehn. El lema de Dehn afirma que un mapeo lineal a trozos de un disco a una 3-variedad, con la singularidad del mapeo situada en el interior del disco, implica la existencia de otro mapeo lineal a trozos del disco que es un encaje y es idéntico al original en el límite del disco. La demostración de este teorema tiene una historia curiosa: se creía demostrado por Max Dehn en 1910, hasta que Hellmuth Kneser encontró una laguna en la demostración en 1929; su estatus quedó entonces en entredicho hasta que Christos Papakyriakopoulos demostró una generalización en 1957, ahora llamada teorema del bucle. Este resultado fue inmensamente importante en el desarrollo de la topología de los 3 espacios. Una nueva extensión en 1965, en la tesis doctoral de David Henderson, fue el resultado de su interpretación más geométrica, en la que la cuestión se reformuló como tomar un disco singular dado cuyo interior no intersecara el límite, «cambiarlo» por un disco no singular que tuviera ciertas propiedades deseadas en común con el disco singular original.

El mismo argumento utilizado en la demostración geométrica tradicional del teorema de Pitágoras [(1) dejando caer perpendiculares desde cada vértice de un triángulo sobre el lado opuesto, y continuándolas en el cuadrado construido sobre el lado, y luego (2) mostrando la igualdad de áreas de rectángulos mostrando la congruencia de triángulos que tienen exactamente la mitad del área de cada uno de esos rectángulos], puede utilizarse para triángulos arbitrarios (en lugar de rectángulos) y conduce a una interesante observación que amplía el teorema de Pitágoras y hace que el argumento sea más simétrico. Sin duda, ¡algo que celebrar para los triángulos convertidos en mariposas!

Fermat demostró este hermoso hecho: que cualquier número primo que sea 1 mod 4 puede escribirse como la suma de dos cuadrados y, a la inversa, si un primo impar puede escribirse como la suma de dos cuadrados, debe ser 1 mod 4. Aquí vemos una demostración diferente de este hecho que utiliza el Teorema de Minkowski, que afirma que, dada una red, cualquier región convexa que sea simétrica respecto al origen y tenga área suficiente debe contener un punto de red además del origen.

Los papalotes tetraédricos fueron propuestos por primera vez por Alexander Graham Bell (quizá más famoso por su trabajo pionero sobre el teléfono); la hoja muestra el título de su artículo sobre el tema. Este tipo de papalote tiene velas que atrapan el viento en varios ángulos sobre un esqueleto muy estable: la regularidad del tetraedro da lugar a una forma fuerte con un buen equilibrio de la carga.

Bell pasó rápidamente de un modelo de tetraedro único a otro con varias celdas, e incluso los primeros ya mostraban un diseño «tipo fractal» que recordaba al triángulo de Sierpiński bidimensional. Este triángulo también está «oculto» en el triángulo de Pascal: ¡sólo tiene que marcar las posiciones de los números impares!

Emmy Noether fue, según todos los testimonios, una matemática asombrosa, además de una persona divertida: su foto favorita era una en la que aparece en un barco, riéndose del fotógrafo.

El boceto que aparece aquí fue realizado por Stephanie Magdziak, como preparación para la creación por parte de Stephanie de las placas conmemorativas de bronce que ahora se entregan a los conferencistas Emmy Noether del ICM en la Conferencia Internacional de Matemáticos que se celebra cada cuatro años. Las dos fórmulas se compusieron también para esa placa. (Puedes encontrar más información en este artículo sobre esas placas(PDF – 2,3 MB).

Las fórmulas se refieren a los dos resultados por los que Emmy Noether es más conocida: la formulación de la condición de la «cadena ascendente de ideales principales», una propiedad fundamental de los anillos especiales, ahora llamados anillos noetherianos, y el Teorema de Noether, que afirma que toda invariancia de un sistema físico bajo un grupo de transformaciones está ligada a una ley de conservación, un resultado básico en física matemática. La página impresa es el comienzo del artículo sobre ese segundo resultado. Sorprendentemente, estos dos resultados fundacionales son elementos básicos en dos subdisciplinas matemáticas ahora tan alejadas que sus practicantes a menudo ni siquiera saben que Emmy Noether también es celebrada por los miembros de la otra disciplina.

Cada nudo tiene su correspondiente complemento de nudo, lo que significa que si se toma S³=R³ U {∞} y se elimina el nudo (que es un círculo encajado), el espacio resultante se denomina variedad tridimensional con cúspide. La cúspide está precisamente donde se ha eliminado el nudo. A cada complemento de nudo le corresponde una descomposición poliédrica, una forma de describir la geometría de la variedad. El nudo de esta hoja ilustra el nudo de la Figura del Ocho y su correspondiente descomposición en dos tetraedros ideales (vértices eliminados). Las flechas y los colores ilustran cómo deben pegarse los dos tetraedros para obtener el complemento de la Figura del Ocho.

El nudo de Figura del Ocho tiene el menor volumen hiperbólico. Esta descomposición fue demostrada por primera vez por William Thurston en sus notas The Geometry and Topology of Three Manifolds.

Las ondículas son bloques de construcción para las transformadas wavelet o transformada de ondículas,en las que funciones más generales se descomponen en una combinación lineal de versiones escaladas y trasladadas de la plantilla, la ondícula. Estas transformadas son útiles en entornos en los que hay muchas escalas en juego. Por ejemplo, las transformadas de ondícula se utilizan en el tratamiento de imágenes y en la comprensión y descripción de singularidades en ecuaciones diferenciales u operadores integrales.

Para algunas ondículas especialmente construidas, las versiones escaladas y trasladadas utilizadas en la transformada de ondículas constituyen una base ortonormal; están vinculadas a algoritmos de transformada con implementaciones numéricas muy rápidas que utilizan convoluciones con secuencias digitales cortas (también llamadas filtros). La superficie (de la que la hoja muestra dos vistas, por «delante» y por «detrás») ilustra una familia de 1 parámetro de esas ondículas especiales generadoras de bases correspondientes a filtros digitales con sólo 4 coeficientes, que van desde la ondícula de Haar hasta la «ondícula feroz» pintada por PulPi; D4 está a unos 2/3 del camino.

La elección de representantes al Congreso en EEUU se organiza por estados; el número de representantes a la Cámara de un estado es (aproximadamente) proporcional a su población. Los estados con más de un representante en la Cámara se dividen en distritos congresionales que eligen un representante cada uno. Los límites de estos distritos pueden volver a trazarse cada 10 años, para garantizar (aproximadamente) la misma población por distrito. Los límites de los distritos también pueden tener en cuenta otros factores; a veces se acusa a las autoridades que redibujan los límites de manipulación»injusta».

Los matemáticos han desarrollado herramientas algorítmicas no partidistas para evaluar la «equidad» de un mapa de distritos, por ejemplo comparando su resultado electoral con la distribución de resultados de mapas geométricamente similares. Las imágenes de esta hoja proceden de varios estudios de este tipo, coordinados por Moon Duchin y por Jonathan Mattingly.

Los patrones se dan de forma natural en la naturaleza. Las conchas de moluscos como el Nautilus nacarado, el Syrinx aruanus y el Tectus niloticus (sinónimo: Trochus niloticus) tienen una elegante estructura en espiral que sigue una «espiral equiangular», también conocida como «espiral logarítmica». Para cualquier ángulo de rotación, la distancia desde el origen de la espiral aumenta en una cantidad fija.

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Esta lámina muestra la primera página de uno de los informes técnicos de la NASA de Katherine Johnson, cuyos cálculos manuales fueron esenciales para muchos de los primeros vuelos espaciales tripulados de la NASA en las décadas de 1950 y 1960. En los años que precedieron a este trabajo, ya era una pionera matemática, reclutada de su trabajo como maestra de escuela pública para ser una de las tres primeras estudiantes graduadas negras de la Universidad de Virginia Occidental. Su contribución más célebre al programa espacial estadounidense fueron sus cálculos para el vuelo orbital de John Glenn en 1962. Debido a la complejidad de la ruta de vuelo, la NASA había creado una nueva red de ordenadores y estaciones de seguimiento para hacer posible la misión, pero las máquinas eran propensas a los fallos y los astronautas eran reacios a confiar en ellas. Es famosa la negativa del propio Glenn a emprender la misión hasta que Johnson hubiera comprobado a mano cada uno de los resultados de los ordenadores.

Katherine Johnson es una de las mujeres matemáticas e ingenieras afroamericanas que aparecen en el libro de 2016 Figuras ocultas (escrito por Margot Lee Shetterly) y en su adaptación cinematográfica, un homenaje largamente esperado a sus logros históricos. El año anterior, a la edad de 97 años, Johnson recibió la Medalla Presidencial de la Libertad en reconocimiento a su trabajo pionero en la exploración espacial.

Desde pequeños nos han inculcado la noción de que la suma de los ángulos de un triángulo siempre es igual a 180 grados, es decir, π radianes. Pero esto es sólo una parte de la historia. Esta historia se remonta aproximadamente a 2300 años, cuando Euclides enunció los cinco axiomas de la geometría. El quinto, conocido como el postulado de las paralelas, afirma

Si un segmento de línea interseca dos rectas rectas formando dos ángulos interiores del mismo lado que sumen menos de dos ángulos rectosentonces las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.

Más popularmente, el postulado de la paralela equivale a la siguiente afirmación: por un punto que no está en una recta dada hay exactamente una recta paralela a la recta dada. Se puede demostrar que esta afirmación implica que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a π radianes.

Durante dos milenios, los matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado a partir de los cuatro anteriores, sin éxito. En el siglo XIX, matemáticos como Lobachevski y Bolyai descubrieron una nueva geometría seleccionando un quinto axioma alternativo, en el que se supone que a través de un punto que no está en una línea dada hay al menos dos líneas paralelas a la línea dada. Esto da lugar a una geometría en la que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser inferior a π radianes.

También se pueden considerar otras alternativas al quinto axioma de Euclides, y construir así una geometría no euclidiana. Más concretamente, se podría suponer que a través de un punto que no esté en una recta dada no hay rectas paralelas a la recta dada. Un ejemplo de este tipo de geometría es la geometría esférica, en la que los grandes círculos asumen el papel de las rectas. En los triángulos de una esfera, la suma de los tres ángulos es siempre superior a π radianes.

Tres láminas hermanas muestran figuras triangulares para las tres geometrías. En el caso hiperbólico, la suma de los ángulos es inferior a π radianes; en el caso elíptico, la suma supera π radianes. En ambos casos, el valor de la diferencia es igual al área del triángulo. En el caso euclídeo, que separa el elíptico del hiperbólico y puede considerarse como el límite a medida que el radio de la esfera (pseudoesfera) se aproxima al infinito, la suma de los tres ángulos es exactamente igual a π radianes para todos los triángulos, y no da ninguna información sobre su área.

El famoso matemático Vladimir Arnold ilustró las propiedades de mezcla de un mapa simple del cuadrado [0,1^]2 a sí mismo dibujando un gato en el cuadrado, y mostrando cómo el dibujo en blanco y negro era transformado por el mapa. Este dibujo y esta construcción han llegado a conocerse como «el gato de Arnold«; inspiraron el nombre del panadero de la Matemalquimia. El mapa, tal como se ilustra aquí, consta de varios pasos: en primer lugar, la transformación lineal de R ² con la matriz [1 1;1 2], que transforma [0,1^]2 en un paralelogramo; a continuación, las piezas que sobresalen de [0,1^]2 se vuelven a colocar en [0,1^]2 añadiendo los múltiplos enteros apropiados de los vectores [1;0] y [0;1]; las secciones que requieren un vector de transporte distinto reciben un color diferente. Los cuatro triángulos resultantes embaldosan bien [0,1^]2. Como resultado de la operación, el gato se ha comprimido en una dirección y se ha «emborronado» en otra. Repitiendo el mapa una y otra vez, verás que la imagen transformada del gato se aproxima a un gris uniforme constante.