Jardín

La historia

Las ardillas rayadas juegan a un juego con bellotas y fichas numéricas babilónicas, mientras las ardillas parlotean sobre las esculturas del jardín. Mientras tanto, abejas y mariposas polinizan un colorido conjunto de flores geométricas.

La historia

La bahía y las charcas de marea están llenas de criaturas acuáticas, corales hiperbólicos y conchas poliédricas.

Las ardillas adoptan un enfoque más avanzado con su Criba de Eratóstenes.

Primero se dan cuenta de que, al ser el número entero más pequeño que supera a 1, el número 2 tiene que ser primo; como ningún múltiplo no trivial de 2 puede ser primo (ya que tiene 2 como divisor), los «tamizan» (insertando una pantalla que los vela). El siguiente número más pequeño, el 3, sigue sin descubrirse cuando cuentan hasta él, por lo que también es primo, y ahora velan todos sus múltiplos con otra pantalla. A medida que suben más y más, saltándose los números que ya están velados, descubren los primos uno a uno, continuando la eliminación de los múltiplos de cada nuevo primo. En la escena actual, se han insertado las pantallas para el 2,3 y el 5, y se aproximan las pantallas para el 7 y el 11. Como las ardillas sólo comprueban hasta 100, y todos los números del 8 al 10 (la raíz cuadrada de 100) ya están velados, la criba para el 11 no es necesaria en realidad: todos los múltiplos de 11 por debajo de 100 ya habrán sido cribados tras las rondas anteriores. En ese momento, todos los números por debajo de 100 que siguen sin ser velados son primos.

Los adoquines de color marrón no uniforme del camino del jardín representan el resultado de una criba de Eratostenes similar para los enteros Gaussianos, un análogo complejo de los enteros regulares, formado por todos los números de la forma m+ni (donde i²=-1).

Las piedras del pavimento muestran una ficha individual diminuta para cada entero gaussiano con |m| y |n| que no exceda de 7, con la ficha para m=n=0 en el centro. En una de las piedras marrones no uniformes, sólo hay cuatro pequeñas baldosas blancas: son las cuatro raíces de 1 (a saber, 1, -1, i y -i); no cuentan en nuestra búsqueda de números primos de Gauss (igual que 1 no cuenta cuando se enumeran los números primos naturales); son los únicos para los que m²+n²=1. El siguiente valor más alto posible de m²+n² es 2, cuando |m| y |n| son iguales a 1. Hay cuatro enteros de Gauss correspondientes, a saber, 1+i y los resultados de multiplicar 1+i por i, -1 y -i (las otras raíces de la unidad), dando 1-i, -1+i y -1-i. Éstos son, pues, los primeros primos gaussianos que encontramos; sus múltiplos no triviales son todos los enteros gaussianos en los que |m|+|n| es par y distinto de 2 — la segunda baldosa marrón y blanca muestra todos esos números en blanco, así como el cero central y las cuatro raíces de la unidad: han sido «cribados», y sólo las baldosas marrones restantes podrían ser primos candidatos. (Observa que esto significa que el entero ordinario 2 ha sido eliminado: como 2=(1+i)(1-i), ¡NO es un primo en los enteros de Gauss!) A continuación, al buscar valores más altos para m²+n² entre las baldosas aún marrones, están 2+i (y los resultados de multiplicarlo por raíces de la unidad, -1+2i, -2 -i y 1-2i), así como su conjugado complejo 2-i (y 1+2i, -2+i, -1-2i). Por tanto, el tercer adoquín no todo marrón conserva todas las baldosas blancas del adoquín anterior, y también deja en blanco todos los múltiplos de 2+i, como 3+4i=(2+i)² o 5=(2+i)(2-i), que seguían siendo marrones después del paso anterior; el siguiente adoquín no todo marrón después de éste deja en blanco también los múltiplos de 2-i. Y así sucesivamente… pero a la escala de nuestros adoquines, nada cambiará a partir de ahora: el siguiente primo es el 3, pero ya se han eliminado todos sus múltiplos para los que ni |m| ni |n| superan el 7. Así pues, el quinto adoquín no-todo-marrón es idéntico al cuarto: el tamiz para el 3 es superfluo a la escala que vemos en los adoquines, igual que lo era el del 11 para el gran tamiz vertical de 1 a 100 para los enteros estándar.

Los acantilados de Riemann forman uno de los límites del jardín; son columnas verticales hexagonales, que siguen un adoquinado hexagonal para su base. Los adoquinados hexagonales se dan en la naturaleza en muchos lugares; un ejemplo familiar es la disposición de las celdas de una colmena, como en la parte posterior del marco de cribado de las ardillas.

Esta particular colmena ilustra la naturaleza autosimilar del adoquinado hexagonal al mostrar cuatro escalas sucesivas: cada capa más gruesa se obtiene ampliando en un factor √3 una capa de escala más fina y girándola 30 grados; los centros de todas las celdas más grandes pueden entonces hacerse coincidir exactamente con los centros de (una de cada cuatro) de las celdas más pequeñas.

La hoja que se escapó de la Cabalgata rellena una estructura de baldosas hexagonales con las primeras filas del triángulo de Pascal –¡nótese que las entradas impares marcan un triángulo de Sierpinski!

Tanto el Jardín como el Arrecife tienen muchos ejemplos de superficies onduladas que ilustran la geometría hiperbólica, un ejemplo de geometría no euclidiana. Hay dos tipos de geometría no euclidiana: la esférica y la hiperbólica. En una esfera (una superficie con curvatura positiva constante) los triángulos (figuras encerradas por el camino más corto posible desde un punto A a otro punto B, continuando de forma similar desde B a un tercer punto C, y luego de vuelta a A) tienen tres ángulos que suman más de 180 grados — a diferencia del plano (con su geometría euclídea) donde los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180 grados. Ésta es una de las características de una superficie de curvatura positiva; otra forma de detectar su naturaleza no euclidiana es darse cuenta de que la circunferencia de un círculo con un diámetro dado es menor que π veces ese diámetro.

En el plano hiperbólico (una superficie de curvatura negativa constante), que también tiene una geometría no euclidiana, la situación es la opuesta al caso esférico: los tres ángulos de un triángulo suman menos de 180 grados, y la circunferencia de un círculo de diámetro d supera π veces d. Tanto en la geometría esférica como en la hiperbólica se viola el 5º postulado de Euclides: en el caso esférico, siempre que se elija una línea del camino más corto y un punto P fuera de esa línea, caminar en línea recta desde P en cualquier dirección conduce finalmente a una intersección con la línea -por tanto, no hay ninguna paralela a través de P a la línea original-; en el caso hiperbólico, puede haber varias, como se ilustra en la gran superficie hiperbólica amarilla del jardín, donde las líneas rectas están marcadas en rojo, y se pueden ver tres líneas distintas que pasan por el mismo punto, ninguna de las cuales interseca a otra línea.

En la tela con volantes de aquí, los polígonos que se encuentran en cada punto de las cuatro esquinas son pentágonos regulares; su suma total de ángulos de (aproximadamente) 514 grados hace imposible que la tela quede plana: se trata, de nuevo, de una superficie con curvatura negativa. Puede encontrar más información sobre la geometría hiperbólica y las superficies de curvatura negativa aquí.

Las superficies con curvatura negativa se dan mucho en la naturaleza: algunos ejemplos son los arrecifes de coral y las setas, o, más cerca de nosotros, las superficies interiores de nuestro intestino; son la solución natural si se quiere hacer mucha superficie 2D en una pequeña región 3D.

A lo largo de las escenas del Jardín y del Arrecife hay muchos ejemplos de poliedros regulares: los sólidos platónico y arquimedianos están todos allí, al igual que muchos de los sólidos de Johnson (los sólidos de Johnson restantes están en otras escenas). Los sólidos de Johnson están realizados como sólidos de los que sólo se indican las aristas; los sólidos arquimedianos tienen rellenas algunas de sus facetas, pero no todas, y los 5 sólidos platónicos tienen rellenas todas sus caras.

El Jardín y el Arrecife también contienen muchos objetos de origami. El origami tradicional comienza con una sola hoja de papel; siguiendo secuencias muy precisas que implican muchas acciones de doblar, desdoblar y volver a doblar, se pueden realizar formas complejas. Varias de las formas del jardín y el arrecife (como las rosas) son objetos de origami de este tipo. Muchas otras son ejemplos de papiroflexia modular, en la que se empieza con muchas hojas de papel; tras plegar estas hojas individuales en módulos idénticos, los módulos se ensamblan hábilmente para hacer objetos complejos de gran simetría, atractivos para cualquiera a quien le gusten las matemáticas o la simetría. Puede encontrar más información sobre los vínculos entre las matemáticas y el origami aquí.