Phare – Connexions mathématiques

L’histoire

Le phare éclaire le monde qui l’entoure et permet aux marins de naviguer en toute sécurité dans des eaux inconnues.

Regardez de plus près… Que voyez-vous?

Au sommet du phare se trouvent deux sources lumineuses qui projettent des ombres et des lumières. Pouvez-vous trouver…

• deux points lumineux sur les murs, l’un orange, l’autre jaune ?
• un motif géométrique de lumière et d’ombres au plafond ?

Concentrez-vous sur… la projection stéréographique!

La projection stéréographique utilise la lumière pour projeter des ombres sur un plan à travers une sphère. Ici, la surface plane est le plafond.

La projection stéréographique préserve certaines propriétés géométriques tout en en déformant d’autres. Par exemple, les angles des triangles sur la sphère sont conservés dans l’ombre (les angles de quatre-vingt-dix degrés sur la sphère ont une projection sur le plan qui sont aussi des angles de quatre-vingt-dix degrés). Les longueurs ne sont pas conservées : les longueurs de la projection augmentent à mesure que le plan s’éloigne de la sphère.

Les mathématiques de la projection ont des implications sociales et politiques. La projection de Mercator permet de représenter les continents d’un globe sur une carte plane, mais les terres éloignées de l’équateur prennent une taille disproportionnée. Comment cela affecte-t-il notre perception du monde ?

Sur cette carte de la Terre selon la projection de Mercator, le Groenland apparaît presque aussi grand que l’Afrique, et l’Antarctique les éclipse tous les deux. En réalité, la superficie de l’Afrique est plus de 14 fois supérieure à celle du Groenland et deux fois supérieure à celle de l’Antarctique.

Avec l’avènement de la navigation par satellite, les phares sont devenus pratiquement obsolètes. Notez que les deux formes de navigation, qu’il s’agisse de la triangulation des balises de proximité, telles que les phares, ou de l’utilisation du GPS (Global Positioning Satellite), dépendent grandement des mathématiques !

Les lentilles du phare de MathémAlchimie sont des lentilles de Fresnel, comme celles qu’on trouve dans les véritables phares. Les lentilles de Fresnel ont été inventées au XIX^e siècle par le physicien français Augustin-Jean Fresnel. Elles ont été créées pour permettre la fabrication de lentilles très puissantes en utilisant beaucoup moins de matériaux. Cela rend possible la formation de faisceaux beaucoup plus concentrés, visibles à de plus grandes distances. On a même qualifié la lentille de Fresnel d’« invention qui a sauvé un million de navires ».

L’un des principes d’organisation du phare est l’heptagone régulier. L’heptagone revêt une importance particulière dans l’histoire des mathématiques, car c’est le plus petit polygone régulier (avec le moins de côtés) qui ne peut pas être construit à l’aide d’une règle et d’un compas. Avant que cela ne soit prouvé, de nombreuses personnes s’y sont cassé les dents…

Le phare a été conçu mathématiquement pour faciliter sa soudure. Cela a demandé une correspondance parfaite des angles lors de la conception des diverses courbes. Pour y arriver, la spirale ascendante de la rampe extérieure et la légère forme de « vase » (avec une « taille » plus étroite au milieu qu’en haut et en bas) ont dû être associées à une spirale moins flagrante des piliers métalliques (presque) verticaux.

En d’autres termes, la rotation de chaque courbe a été décomposée en rotation autour de la normale (courbure géodésique) et autour de la binormale (courbure normale). Imaginez maintenant que vous soudez ensemble deux bandes de métal ayant une section transversale en forme de « T ». La bande correspondant à la barre supérieure du « T » est découpée dans une feuille plate selon la courbure géodésique de la courbe originale. La bande correspondant à la ligne verticale du « T » est également découpée dans une feuille plate, en contribuant à la courbure normale. Le pliage et le soudage des deux bandes incorporent essentiellement ces deux courbures pour restituer l’intégralité de la courbe d’origine. Le phare a été conçu selon ce principe, à une différence près : la rampe en spirale avait une forme en « L » plutôt qu’en « T ».

La source lumineuse du phare est logée dans un dodécaèdre. Le dodécaèdre peut être considéré comme une référence à la symétrie pentagonale présente dans la boulangerie voisine. Mais il possède également des propriétés mathématiques très particulières qui le distinguent des polyèdres de Platon. Il est donc approprié de choisir ce polyèdre pour le bâtiment qui s’élève au-dessus du reste de l’installation.

L’une de ces propriétés n’a été découverte que récemment (voir cet article).

Une trajectoire en ligne droite sur un polyèdre est définie ainsi : vous marchez tout droit sur une face, puis à chaque croisement d’arête, vous continuez sur la nouvelle face de manière à ce que les angles entre les trajectoires et les arêtes soient les mêmes à droite après l’arête et à gauche avant l’arête. (Vous pouvez aussi imaginer le bord commun comme une charnière. Si on déplie la nouvelle face autour de cette charnière, jusqu’à ce qu’elle se retrouve dans le même plan que l’ancienne face, votre trajectoire sera une ligne droite sans déviation.) Si vous marchez en ligne droite sur un solide de Platon différent du dodécaèdre, en partant d’un sommet et en cherchant à revenir à ce même sommet, vous passerez toujours par un autre sommet avant de revenir à votre point de départ. Jaydev Athreya, David Aulicino et Patrick Hooper ont conçu des exemples et ont répertorié les trajectoires rectilignes qui évitent d’autres sommets. La ligne séparant le jaune du rouge sur le dodécaèdre du Phare correspond à l’une des trajectoires droites qu’ils ont construites.

Vidéo en version originale (langue anglaise).

La projection stéréographique fait partie d’un groupe fascinant de transformations, appelées les transformations conformes, qui sont des transformations géométriques qui préservent les angles (mais pas les longueurs). Voici un exemple amusant de projection stéréographique dans une vidéo mathématique.

Une autre transformation conforme bien connue est la projection de Mercator, utilisée dans de nombreuses cartes géographiques.