Courtepointe cryptographique – Connexions mathématiques

Ce panneau montre l’étape du « codage » du code de Hamming, un code correcteur d’erreurs. L’objectif des codes correcteurs d’erreurs est de permettre au récepteur de corriger les éventuelles altérations du message lors de sa transmission, de manière à récupérer le message original. Dans ce panneau, l’expéditeur ajoute des chiffres supplémentaires au message 0111, ce qui aidera le destinataire à comprendre le message même si un ou plusieurs chiffres ont été accidentellement modifiés. Pour le déchiffrage, référez-vous au bloc K!

Ce panneau représente la chaîne de blocs, l’infrastructure mathématique garantissant la sécurité des cryptomonnaies, telles que le Bitcoin.

Blaise de Vigenère est célèbre pour avoir écrit le Traicté des Chiffres en 1585. Dans cet ouvrage, il recense les méthodes de chiffrement de substitution polyalphabétique et fournit une clé pour les déchiffrer. Dans le chiffre de Vigenère, plusieurs décalages de l’alphabet sont utilisés pour coder le message, ce qui le rend plus complexe que le chiffre de César, qui n’utilise qu’un seul décalage.

Les courbes elliptiques sont définies par les équations du type y² = x³ + ax + b. La cryptographie par courbe elliptique est un système de cryptage à clé publique qui utilise le fait qu’il est possible « d’additionner » deux points sur une courbe elliptique pour en obtenir un troisième. Le panneau illustre comment additionner un point P à lui-même.

La cryptographie moderne repose sur l’utilisation d’ordinateurs, qui eux-mêmes dépendent de l’électricité. Ce panneau est aussi lié à celui du cerf-volant et de la clé de Tess.

Avant l’avènement de la cryptographie moderne, les messages étaient protégés par des méthodes complexes de pliage et l’apposition d’un sceau, qui permettaient de détecter si quelqu’un avait ouvert la lettre. Cette méthode était en vogue aux XVIIe et XVIIIe siècles, lorsque les lettres étaient pliées sur elles-mêmes, sans utiliser d’enveloppe. De nombreuses personnes ont développé leurs propres méthodes de verrouillage des lettres. Les pigeons voyageurs ont été utilisés depuis l’Antiquité jusqu’à l’apparition du téléphone pour transporter des messages sur de longues distances.

Dans le problème du sac à dos, une personne met un ensemble de poids dans un sac. La question est de savoir si l’on peut déterminer les poids utilisés, en connaissant seulement la masse totale du sac et les poids disponibles. Par exemple, si les poids sont de 1, 2, 5 ou 10 livres et que le sac à dos pèse 16 livres, pouvez-vous déterminer quels poids ont été utilisés ? Et si chaque poids ne pouvait être utilisé qu’une seule fois ? Dans un système simple de cryptage du sac à dos, le message caché correspond aux poids contenus dans le sac, et le message crypté représente la masse totale du sac. Bien que des systèmes de cryptage à dos portatif rudimentaires aient déjà été compromis, certains systèmes de cryptage à dos portatif modernes sont considérés comme des candidats prometteurs pour la cryptographie post-quantique.

Les systèmes cryptographiques fondés sur les réseaux euclidiens, comme GGH et NTRU, utilisent des problèmes complexes concernant les réseaux pour dissimuler des messages. L’un des défis les plus complexes en matière de réseaux consiste à déterminer le vecteur le plus court. Il s’agit de trouver une combinaison de vecteurs (par exemple [4 ; 7] et [7 ; 11]) ayant des coefficients plus petits. Parfois, une « mauvaise » base (comme celle des vecteurs donnés) sert de clé publique pour le cryptage, tandis qu’une « bonne » base de vecteurs plus courts sert de clé privée pour le décryptage. Dans ce bloc, on peut voir un réseau dont la base publique des vecteurs longs est clairement indiquée, alors que la base privée est moins évidente. Les systèmes cryptographiques fondés sur les réseaux constituent des candidats importants en cryptographie post-quantique.

L’ADN, c’est le code de la vie ! Ce bloc fait également référence à la scène Nœud-tique de l’installation (avec le bateau dans la baie) et à ses enchevêtrements de nœuds. L’ADN se replie sur lui-même afin de pouvoir entrer dans les cellules. Le « dénouer » pour qu’il puisse être répliqué constitue un problème mathématique délicat.

Bien que Jules César ait évoqué une méthode de transmission de messages militaires dans sa Guerre des Gaules, c’est Suétone qui a révélé que César écrivait à ses proches en remplaçant une lettre de l’alphabet par une autre 3 positions plus loin, sans modifier l’ordre alphabétique.

Dans ce bloc, nous voyons le message émis par le panneau A, situé en haut à gauche. Le message, qui avait été précédemment complété par des informations additionnelles, a été reçu avec une erreur. Ce panneau illustre la correction de cette dernière. Après quelques opérations mathématiques, le message initial est retrouvé. L’utilisation de codes correcteurs d’erreurs, comme le code de Hamming, permet de vérifier que les messages reçus sont les mêmes que ceux envoyés. On les utilise dans plusieurs applications, comme les numéros de vérification sur les cartes de crédit ou les codes à barres. Le message entre ces deux panneaux fait référence au mois où nous nous sommes enfin réunis pour terminer l’installation. Il est considéré comme un chiffre porte-bonheur !

Certains systèmes de cryptographie s’appuient sur le fait que la factorisation de grands nombres est un problème difficile. Dans le cas du système RSA, par exemple, la clé publique est un nombre composite qui est le produit de deux grands nombres premiers. Ces derniers constituent la clé privée secrète servant à déchiffrer les messages. Par conséquent, si chacun pouvait facilement factoriser, décoder les messages deviendrait un jeu d’enfant. L’algorithme rho de Pollard est une méthode permettant de factoriser les nombres qui sont le produit de deux nombres premiers. Il tire son nom de la lettre grecque rho (ρ), car il s’agit d’un processus itératif qui finit par créer un cycle, qui ressemble à la lettre ρ. Au cas où vous vous poseriez la question, cet algorithme n’est pas assez efficace pour attaquer le cryptage RSA, compte tenu de la taille des nombres premiers actuellement utilisés.

Thomas Edison avait eu l’idée d’utiliser des rotors comme disques de chiffrement, mais on ignore dans quelle mesure ce système a été utilisé. L’utilisation la plus connue de ce système est le décalage impliquant le mouvement des rotors, ainsi que le système de rotor de la machine Enigma, utilisée par les Allemands durant la Seconde Guerre mondiale.

L’origine du chiffre des francs-maçons est inconnue en raison de sa simplicité et de son manque d’utilité dans la société moderne. Il utilise une base composée de deux grilles de morpion, ainsi que de deux grandes grilles en forme de X, avec un point ou non dans chaque emplacement. Une lettre de l’alphabet est attribuée à chaque case et une réplique de « stylo » sert à représenter la lettre.

Ce panneau illustre la structure particulière des nombres entiers modulo un nombre premier (en l’occurrence, le nombre premier est 19). Si l’on exclut 0, tout nombre modulo 19 est une puissance de 2 ; c’est ce que cela signifie lorsqu’on dit que 2 est une racine primitive modulo 19. Chaque nombre premier possède une racine primitive. Les racines primitives sont utilisées dans l’échange de clés Diffie-Hellman, où deux personnes peuvent communiquer des informations publiquement, mais en retirent un secret partagé.

Les anciens Incas utilisaient des motifs de nœuds sur des cordes pour coder des nombres. Comme dans un quipu historique, les nœuds de ce panneau enregistrent des nombres. Il est possible d’additionner les valeurs de chaque brin. Il pourrait s’agir d’une sorte de comptabilité ou de correction d’erreurs.

Ce panneau illustre l’importance cruciale de la cryptographie en matière de protection des données. Nous nous appuyons sur celle-ci pour protéger nos secrets, comme nos numéros de cartes de crédit et d’autres renseignements personnels. Le vol de secrets est une pratique ancestrale qu’il faut combattre.

Pour dissimuler un message, on l’écrit sur un ruban de papier mince qu’on enroule autour d’un bâton. Une fois le papier retiré du bâton, les lettres se sont mélangées. La clé pour déchiffrer le message consiste à connaître le diamètre du bâton à employer. En raison des limites techniques de l’époque (du 1^er au 12^e siècle après J.C), il était difficile d’obtenir un cylindre uniforme d’un diamètre donné.

Dans ce bloc, on a incrusté du code Morse dans des tricots afin de pouvoir communiquer. Un message est encodé dans les câbles, et un autre dans la couleur des fils utilisés. Les femmes ont dissimulé des messages en morse dans leurs tricots en nouant de la laine pendant la Première et la Seconde Guerre mondiale. Dans le livre de Charles Dickens intitulé « Un conte de deux villes », Madame Defarge tricote des noms sur ses écharpes. Les patrons de tricot des pièces figurant sur ce panneau sont une sorte de code. Il faut connaître la clé pour comprendre les instructions.

Chacun de nous possède un code unique d’empreintes digitales. Dès 850, les marchands arabes ont remarqué que les Chinois authentifiaient leurs contrats à l’aide de leur empreinte digitale. C’est en Inde, vers 1858, que Sir Henry T. Head a découvert ce phénomène. Une solide base scientifique lui a été apportée près de 30 ans plus tard. Il fallait en partie savoir identifier et classer les crêtes et les motifs. Parmi les récits utilisant les empreintes digitales, citons « Pudd’nghead Wilson » de Mark Twain, paru en 1893, ainsi qu’une histoire de Sherlock Holmes écrite par Sir Conan Doyle en 1903, qui se déroule en 1894. Aujourd’hui, nous sommes nombreux à utiliser nos empreintes digitales comme clé pour ouvrir des appareils électroniques au lieu d’un mot de passe traditionnel.