Dans ce schéma, deux personnes (généralement désignées par Alice et Bernard, plutôt que les impersonnels A et B) doivent communiquer par un canal ouvert, c’est-à-dire en émettant des signaux qui pourraient être interceptés par des tiers. Afin de préserver la confidentialité des échanges futurs, ils doivent d’abord convenir d’une clé binaire secrète qu’ils utiliseront pour chiffrer les communications au-delà du protocole. Pourtant, il est incontournable qu’ils établissent un consensus sur cette clé secrète en utilisant le même canal non sécurisé. Tout signal émis dans ce canal pourrait être capté par une tierce partie, généralement désignée sous le nom d’Eve. Après avoir terminé le protocole BB84, les deux parties partageront leur nouvelle clé, dans l’assurance de sa haute probabilité d’intégrité, ayant conscience du très faible risque qu’elle ait été compromise par une écoute clandestine.

Dans l’illustration de la petite courtepointe, Alice émet des photons de polarisation linéaire que Bernard mesure ensuite. Les deux étapes clés, soit la génération de ces photons polarisés par Alice et leur détection par Bernard, s’appuient sur l’utilisation de cristaux de calcite.

À propos des cristaux de calcite

Rayons ordinaires, extraordinaires et leur polarisation

Lorsqu’un rayon lumineux non polarisé pénètre dans un cristal de calcite parfait à un angle droit par rapport à la surface, il se divise en deux rayons. Le premier traverse le cristal et émerge de la face opposée en suivant un chemin rectiligne, dans la continuité du rayon incident, comme dans toute expérience de réfraction avec un cristal parallélépipède. Mais un autre rayon est formé au point d’incidence, qui forme un angle différent de zéro avec le rayon incident. Cela ne se produit pas ordinairement, puisque le trajet d’un rayon incident qui arrive perpendiculairement à la surface n’est en général pas “brisé”; par conséquent, ce second rayon est appelé le rayon réfracté extraordinaire. À son émergence du cristal, par le côté inverse, ce rayon est à nouveau réfracté, poursuivant ensuite un chemin parallèle à celui de l’autre rayon qui s’échappe. Dans le cristal, tout comme après leur passage, ces deux rayons possèdent une polarisation linéaire. Les rayons ordinaire et extraordinaire ont des directions de polarisation perpendiculaires. Pour le rayon extraordinaire E, cette direction se trouve dans le plan qui contient également les deux rayons, mais elle est orthogonale au rayon lui-même. Quant au rayon ordinaire O, sa direction de polarisation est perpendiculaire à ce plan. Pour bien différencier le rayon d’incidence parmi les autres, il a été représenté en vert sur la figure 3D suivante, et uniquement sur celle-là. Toutefois, il n’y a eu aucun changement de teinte lors du processus physique.

Voici comment Alice utilise un cristal et deux lucioles

Chaque cristal employé par Alice est accompagné de deux lucioles, qui servent de sources lumineuses. Chacune de ces lucioles émet de la lumière dans un cône dont l’ouverture est assez large sur laquelle est superposé un petit écran perforé qui ne laisse passer qu’un fin rayon parallèle dans la direction perpendiculaire à la surface du cristal. Ce faisceau étroit est masqué, sauf lorsque Alice le dévoile parce qu’elle souhaite l’utiliser comme source de lumière. Les emplacements des lucioles sont soigneusement sélectionnés. Plus précisément, les deux points d’incidence sur la face du cristal de leurs rayons lumineux sont choisis avec le but suivant: comme nous avons vu plus haut, chacun des rayons produit, au point de réfraction, deux rayons, un ordinaire et un extraordinaire – les deux points d’incidence sont localisés tels que le rayon extraordinaire E1 de la luciole 1 et le rayon ordinaire O2 de la luciole 2 sortent de la face opposée du cristal exactement au même endroit. Les deux autres faisceaux réfractés, le faisceau normal O1 provenant par la luciole 1 et le faisceau extraordinaire E2 provenant de la luciole 2, ne sont pas nécessaires pour cette situation particulière. Ils sont représentés sur le schéma suivant par une portion très courte (absente des illustrations subséquentes). On pourrait placer de petits écrans absorbants au point de sortie de ces rayons pour les éliminer. Comme les rayons E et O ont des directions de polarisation différentes, chaque association de deux lucioles et d’un cristal de calcite correspond, pour Alice, à une source de lumière polarisée qu’elle peut choisir selon sa convenance (correspondant à la luciole dont elle enlève le masque). 

La figure 3D ci-dessous illustre cette géométrie pour l’un des cristaux d’Alice.

Installation complète d’Alice: 2 cristaux et 4 lucioles pour former son faisceau

L’ensemble d’Alice se compose de deux cristaux, chacun accompagné d’une équipe de deux lucioles. Les cristaux sont disposés de manière à ce que leurs rayons émergents convergent vers un même point, formant un angle droit. À l’endroit où les deux rayons se rencontrent, un miroir semi-argenté est installé, perpendiculairement au plan formé par les deux rayons, et de manière à former un angle de 45 degrés avec chacun d’entre eux. Parce que le miroir est semi-argenté, un photon qui arrive au miroir en suivant l’un ou l’autre des deux rayons a 50 % de chances d’être transmis sans changement de direction, et 50 % de chances d’être réfléchi. L’illustration en trois dimensions montre comment le rayon réfléchi d’un cristal correspond au rayon continu de l’autre. (Au-delà du miroir, il existe aussi un autre trajet possible pour la lumière, où le rayon du premier cristal continuerait sans réflexion. Il coïnciderait alors avec le rayon réfléchi provenant du second cristal. Cette alternative n’est pas considérée ici – un autre petit écran pourrait bloquer ces photons-là.)

Pour différencier les deux parties de l’installation d’Alice, nous les appelons « Droit » et « Oblique ». Le côté Droit émet des photons polarisés linéairement, dont la direction est soit dans le plan défini par les deux rayons arrivant au miroir semi-argenté, soit perpendiculaire à ce plan. Nous appelons ces directions de polarisation « horizontales » (ou « h ») ou « verticales » (ou « v »), selon le cas. Les photons du côté Oblique ont des directions de polarisation que nous appellerons « gauche » (g) ou « droite » (d). Au-delà du miroir semi-argenté d’Alice, le faisceau émanant de son installation se compose de quatre types de photons: Dh, Dv, Og et Od.

Envoi de la séquence de photons par Alice

Dans le cadre du protocole BB84, Alice transmet une série de photons à Bernard par l’intermédiaire du canal ouvert, un à la fois à des intervalles de temps prédéterminés. Alice émet des photons linéairement polarisés des quatre types distincts,  sélectionnant aléatoirement le côté et la direction de polarisation de chaque photon qu’elle émet. Elle note les choix qu’elle fait. Le miroir semi-argenté d’Alice achemine chaque photon vers Bernard avec une précision de 50% (les 50% restants empruntent un chemin différent et ne servent donc à rien). Par conséquent, un photon atteindra Bernard environ la moitié du temps aux instants prévus par l’entente préalable entre Alice et Bernard.

L’installation de Bernard

Bernard, quant à lui, dispose d’un assemblage similaire à celui d’Alice, comme le montre la figure ci-dessous. Lorsque la lumière traverse l’assemblage, elle heurte d’abord un miroir semi-argenté. Chaque photon est alors soit transmis directement sans réflexion, soit réfléchi à 90 degrés par rapport à son angle d’incidence initial, selon un schéma aléatoire.

Observation des photons par Bernard

Le miroir semi-argenté de Bernard renvoie chaque photon qui le frappe soit vers le cristal identique à celui utilisé par Alice pour produire ce photon (c’est-à-dire le cristal Correct) ou vers l’autre cristal (le cristal Incorrect), avec une probabilité de 50% pour chaque option. Si le photon arrive à son cristal Correct, sa direction de polarisation est déjà alignée avec les directions spéciales pour ce cristal-là; il suivra dans le cristal le chemin déterminé par sa polarisation, et quittera le cristal par le point de sortie correspondant à cette polarisation. Bernard a placé une grenouille d’une espèce rare à chacun des quatre points de sortie possibles des deux cristaux. Sa rétine est capable de détecter des photons individuels. Ces grenouilles ont été dressées à sauter lorsqu’elles détectent un photon. Quand un photon atteint son cristal Correct, Bernard peut en conclure, à partir des réactions de ses grenouilles, si Alice a émis un photon de polarisation v ou h (si D est le cristal Correct) ou g ou d (si O est le cristal Correct). Lorsqu’un photon atteint un cristal Incorrect, sa polarisation forme un angle de 45 degrés par rapport à chacune des directions spécifiques de ce cristal. Par conséquent, le cristal redirige la polarisation du photon vers l’une de ses deux directions spécifiques, avec une probabilité de 50% pour chacune. Dans ce cas, Bernard ne peut tirer aucune information utile du comportement des grenouilles.

Bernard et Alice apprennent la clé secrète

Il est clair que Bernard ignore si le photon qui arrive chez lui a abouti à son cristal Correct ou Incorrect. Cependant, il est capable de communiquer avec Alice. Après chaque instant prédéterminé avec elle, où elle a envoyé un photon, il lui fait savoir si le photon est arrivé chez lui ou non (seulement la moitié arrive à bon port, comme nous l’avons vu plus tôt). Dans le cas où le photon est arrivé, il indique de quel côté il est sorti, D ou O. Pour chaque photon qui arrive chez lui, Alice indique à Bernard si la détermination de ce dernier correspond au côté qu’elle a utilisé. Après plusieurs échanges d’informations, Bernard et Alice sont maintenant en mesure de déterminer quels photons ont parcouru le chemin d’Alice à Bernard sans que leur orientation de polarisation ait été modifiée. Bernard est désormais capable d’identifier précisément la direction de la polarisation choisie par Alice pour ces photons.

En attribuant une valeur 0 à l’une des deux orientations de polarisation possibles pour chaque photon inchangé, et une valeur 1 à l’autre, Alice et Bernard ont ainsi convenu d’une suite de bits totalement aléatoire, sans jamais avoir exprimé explicitement cette information lors de leurs conversations sur le canal ouvert.

Voici une illustration de l’installation complète des deux côtés: Alice et Bernard. Dans cette situation, chaque cristal a été étiqueté avec des lettres « A » ou « B » afin de le différencier sur tous ses côtés, même après une rotation en trois dimensions. Cette figure sert aussi de modèle pour le dessin de la petite courtepointe. Les détails sont mis en évidence par la diminution considérable de la distance entre les deux miroirs semi-argentés (et donc de la longueur du canal ouvert) ; cette distance est en réalité beaucoup plus grande.

Garantie de secret ?

Que se passe-t-il si une tierce personne, habituellement désignée par « Ève », écoute discrètement la conversation sur le canal ouvert, dans le but de capter (sans que les autres s’en aperçoivent) la clé secrète qu’Alice et Bernard ont décidé d’utiliser ? Même si Eve connaît parfaitement les installations d’Alice et de Bernard, il est impossible pour elle d’observer les photons qui traversent sans interférer avec eux. Pour mesurer la polarisation de ces photons au moment de leur passage, Eve devrait les faire passer par un appareil de mesure semblable aux cristaux de calcite utilisés par Alice et Bernard. Comme Eve ignore, au moment où le photon traverse l’appareil, quelle direction a choisie Alice, elle ne peut pas faire mieux, en moyenne, que de deviner. Elle a une chance sur deux de deviner juste, ce qui entraînerait une lecture correcte de la polarisation du photon. Ce dernier poursuivrait alors son chemin vers Bernard, qui resterait dans l’ignorance de la supercherie. Toutefois, si elle se trompe, l’essai d’Eve pour interpréter la polarisation du photon réoriente cette polarisation vers l’une des directions spéciales du cristal Incorrect pour ce photon. Le photon, avec sa polarisation altérée, a une chance sur deux d’être renvoyé par le miroir semi-argenté de Bernard dans la direction de son cristal Correct; en raison du changement de polarisation opéré par Eve, la polarisation du photon ne correspond plus à ce cristal. Par conséquent, le cristal subit une nouvelle rotation de polarisation qui, en moyenne, ne correspond à la bonne (c’est-à-dire celle qu’Alice lui avait initialement donnée) que dans la moitié des cas.

Ceci implique qu’Alice et Bernard peuvent détecter la présence d’Eve en sacrifiant une partie de la séquence de bits déterminée par les polarisations de photons arrivés au cristal Correct de Bernard. Si une comparaison des bits révèle qu’ils ne sont corrects que dans 75% des cas, cela pourrait indiquer qu’une tierce personne perturbe le chemin des photons. Pour être certain qu’il n’y a pas d’écouteurs indésirables, il faut une proportion beaucoup plus grande de bons bits. Une fois cette vérification effectuée, ils peuvent utiliser les autres bits (non sacrifiés) comme clé de cryptage pour protéger le secret de leurs communications futures.

Sketch par Charles Bennett.

Admirez l’assemblage complet de la petite courtepointe cryptographique.

Surtout, n’allez pas dans votre jardin pour capturer des grenouilles ou des lucioles afin de créer votre propre version du protocole BB84 ! Il s’avèrerait difficile de modifier la ressource en utilisant les lucioles, à la manière dont Alice procède dans cet exemple, pour émettre des photons un à un.

Ingrid Daubechies

De plus, on a effectivement prouvé que la rétine de quelques grenouilles est capable de détecter individuellement l’arrivée de photons, ce qui entraîne une réponse neuronale dans environ 30% des cas. Cependant, cette découverte a été faite en milieu contrôlé, à des températures extrêmement froides, d’où l’idée des blocs de glace représentés sur l’illustration de la petite courtepointe.

Il y a un long chemin à parcourir entre cette constatation et la possibilité de mettre à la disposition de Bernard une collection de grenouilles entraînées à détecter des photons individuellement !

En savoir plus sur la courtepointe de la cryptographie