Envolées sphériques – Connexions mathématiques

L’histoire

Deux envolées sphériques « infinies » jaillissent de la grande page du gribouillage et encerclent l’exposition. L’une d’entre elles s’élève vers le ciel et disparaît de notre vue, représentant une série convergente. L’autre plonge profondément dans la baie, représentant une série divergente. Si les envolées avaient vraiment un nombre infini de sphères, la longueur de la série convergente serait finie, tandis que la longueur de la série divergente serait infinie.

Les deux envolées représentent la différence entre une série convergente et une série divergente. La plus courte des deux est convergente ; elle correspond à une série géométrique où chaque sphère a un diamètre qui est une fraction constante du diamètre précédent (plus grand). La somme de tous les diamètres (la longueur de l’envolée) est finie ; l’envolée convergente s’arrête à une distance finie de son point de départ, même si le nombre de sphères est infini (celles près de son extrémité deviennent trop petites pour être visibles).

Dans l’envolée divergente, le rapport entre le (n+1)ème diamètre et le nème est (n/(n+1)^{)^{⅔}}. Bien que chaque sphère ait un diamètre strictement inférieur à la précédente, la décroissance est si lente que la série diverge.

Cette envolée, si elle se poursuivait éternellement, traverserait les étages inférieurs, la Terre, le système solaire, notre galaxie et même des milliards d’autres galaxies – elle serait infiniment longue. En réalité, nous la perdons de vue, car elle disparaît sous les eaux de la baie.

Toutes les sphères ne sont pas ornées de broderies. Dans chacune des envolées, on peut les numéroter depuis le départ. La plus grosse sphère (en partie ensevelie) est la 1, suivie de la 2 (qui a la même taille dans les deux arches), puis de la 3 (déjà un peu plus petite dans l’arche convergente que dans l’arche divergente), etc. Avec cette numérotation, il est facile de vérifier qu’on a seulement brodé les boules portant les numéros 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71 et 73. Nous ne pouvons distinguer que les 100 premières sphères dans l’envolée divergente (dans l’envolée convergente, nous en voyons nettement moins ; sa 100e sphère mesure moins de 0,000 4 pouce, elle est invisible) ; si nous pouvions voir sous la surface de l’eau, il se révélerait que les sphères 101 et 103 sont également brodées. Toutes les boules brodées correspondent à des nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire des paires de nombres premiers qui ne sont séparés que de 2, comme illustré dans la figure.

Il est important de noter que ces arrangements de nombres en spirale, communément appelés spirales d’Ulam, révèlent des propriétés très intéressantes et encore peu comprises de la répartition des nombres premiers. À des échelles beaucoup plus grandes, on observe des lignes et des courbes, qui contiennent des nombres premiers beaucoup plus souvent qu’ailleurs. La plupart des mathématiciens croient qu’un nombre infini de nombres premiers jumeaux existe, une affirmation qui n’a pas encore été démontrée en 2024.

Un résultat révolutionnaire, obtenu en 2014 par Zhang, prouve qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l’écart est au plus égal à un certain nombre fini N. Au départ, les valeurs de N qui permettaient d’obtenir une preuve irréfutable étaient très élevées ; mais un effort mathématique collaboratif a permis de ramener la valeur à N=246. En novembre 2024, l’énigme des nombres premiers jumeaux, associée à N=2, demeure non résolue.

Les motifs brodés sur les sphères s’inspirent des solides de Catalan, une famille de polyèdres spéciaux différents des solides de Platon, d’Archimède et de Johnson illustrés autre part dans l’installation. (Il existe cependant une relation entre eux : les solides de Catalan sont des duaux des solides archimédiens). Tout comme ces trois familles, les polyèdres de Catalan sont convexes ; toutefois, contrairement à elles, leurs faces ne sont pas elles-mêmes des polygones réguliers. Chaque solide de Catalan se distingue par le fait que toutes ses faces sont des polygones identiques (contrairement aux polyèdres de Johnson ou même aux polyèdres d’Archimède). Il y a 13 solides de Catalan. Chacun d’entre eux est illustré par un (ou deux) motifs qui ornent les 15 sphères brodées visibles dans l’envolée divergente. Leurs petites sœurs, dans l’envolée convergente, arborent le même motif, mais avec une permutation des couleurs de broderie.

Ce tableau met en évidence le lien entre les solides de Catalan et la broderie temari. Les deux dernières boules brodées (71 et 73) répètent les solides de Catalan précédemment illustrés.