Tortue – Connexions mathématiques

L’histoire

Tess la tortue descend le chemin de Zénon en direction de la colline intégral.
Y parviendra-t-elle un jour ?

Regardez de plus près… Que voyez-vous?

Tess marche sur un chemin qui présente une disposition de pavés inhabituelle. Pouvez-vous déceler une relation entre la surface des pierres, la longueur de chaque groupe de pierres et l’emplacement de ces mêmes groupes le long du chemin ?

Concentrez-vous sur… l’infini

Le chemin de Zénon porte le nom du philosophe grec Zénon d’Élée (vers 490 – 430 avant J.-C.). Le paradoxe de la dichotomie de Zénon suggère que, pour que Tess atteigne le bout du chemin, elle doive parcourir la moitié du chemin. Mais elle doit ensuite attindre la moitié de la longueur restante, et à une infinité d’autres moitiés par la suite. En théorie, cela prendrait une éternité ! En pratique, comment Tess pourrait-elle atteindre son objectif ?

Cherchez d’autres odes à l’infini dans cette scène :

• Les terrasses de Lebesgue et les falaises de Riemann s’inspirent des techniques d’intégration qui portent leur nom. Dans les deux cas, l’espace entier est mesuré en additionnant un nombre infini de sous-régions.

• Le cerf-volant triangulaire de Sierpiński de Tess et les flocons de Koch tombant sur le sommet de la montagne sont tous deux des exemples de fractales – des motifs auto similaires, c’est à dire qui se répètent d’eux-mêmes et qui peuvent se poursuivre indéfiniment.

• Le pavage de la coquille de Tess représente un motif infini inspiré du disque de Poincaré. La taille des heptagones diminue au fur et à mesure qu’ils se rapprochent du bord de la coquille, afin de recouvrir une surface de plus en plus grande du plan hyperbolique.

Pouvez-vous trouver des clins d’œil à l’infini ailleurs dans Mathemalchemy?

La carapace de Tess exhibe un pavage heptagonal du disque de Poincaré, un modèle du plan hyperbolique.

Le chemin de Zénon fait référence au paradoxe de la dichotomie de Zénon. Ce paradoxe est raconté de plusieurs manières. Dans sa version originale, Zénon découpe une tâche en une infinité de segments : il prétend qu’avant de pouvoir accomplir une fraction de la tâche, il faut d’abord avoir terminé la moitié initiale de cette portion, puis il répète cet argument à l’infini: pour terminer cette première partie, il faut d’abord avoir terminé la première moitié de cette tâche réduite, etc. D’un point de vue mathématique (mais pas philosophique), on peut énumérer le nombre infini de tâches obtenues, en commençant par la première moitié, suivie de la moitié de ce qu’il en reste, puis de la moitié du reste, maintenant plus petit, et ainsi de suite. C’est ce qui figure sur la liste des choses à faire de Tess.

Tess fait voler un cerf-volant tétraédrique de Sierpiński de 3e itération, nommé d’après le mathématicien polonais Wacław Sierpiński. Selon le récit de Tess, il lui a offert ce cerf-volant en guise de cadeau d’anniversaire.

Le mur de Riemann, tant par son nom que par sa forme, évoque l’intégration de Riemann. Le tableau d’affichage de l’hôtel de Hilbert, accroché au mur de Riemann, évoque le paradoxe du grand hôtel de Hilbert.

Les deux composantes de la colline intégrale, les terrasses de Lebesgue et les falaises de Riemann, font référence, par leur nom et leur forme, à l’intégration de Lebesgue et à l’intégration de Riemann.

Voici une discussion sur la comparaison de l’intégration de Riemann par rapport à celle de Lebesgue (anglais).

Les flocons de Koch qui semblent tomber du ciel sont des courbes fractales nommées en l’honneur de leur inventeur, Koch; elles sont ici représentées à travers cinq étapes de leur élaboration.

Les chroniques de Mathemalchemy : Flocons et lasers