Environnement nœud-tique – Connexions mathématiques

L’histoire

Des hérons et des pingouins pêchent des nœuds dans la baie, dans le cadre d’un programme de marquage et de remise à l’eau visant à étudier le comportement de différentes espèces de nœuds.

Regardez de plus près… Que voyez-vous?

Pouvez-vous trouver des exemples d’objets noués dans…

• le filet que les hérons remontent ?
• les plantes le long du rivage ?
• le serpent de mer nageant devant le bateau ?
• la pieuvre qui émerge de la baie ?

Concentrez-vous sur… les nœuds

Les théoriciens des nœuds définissent les nœuds comme des boucles entrelacées. Le nœud le plus simple est un cercle – ou un carré, ou un ovale, ou même une boucle fermée sinueuse, qui peut être démêlée en un cercle sans le couper – qui s’appelle le « nœud trivial » ou le « non-noeud ».

Le nœud mathématiquement non trivial le plus simple est le nœud de trèfle. A l’instar d’un trèfle comportant 3 feuilles, il a trois croisements. Les nœuds non triviaux ne peuvent être défaits sans couper la boucle.

Les hérons remontent un filet rempli d’une variante particulière de nœuds appelés courbes thêta. Les courbes thêta sont des entrelacement de boucles traversées par une barre, dont la forme rappelle la lettre grecque thêta ϴ. Les courbes thêta du filet ne sont pas seulement nouées dans leur forme apparente, mais aussi dans leur construction : la technique du crochet crée un tissu en utilisant un crochet pour entrelacer un fil sur lui-même, construisant des enchevêtrements dont la complexité augmente à chaque point.

Peux-tu deviner pourquoi le nœud ci-dessus s’appelle un nœud thêta pentacle?

Le dragon noué, aussi appelé le Nœud-tie (un parent éloigné de la légendaire Nessie), s’est enroulé dans ce que l’on appelle familièrement un nœud (un vrai nœud mathématique n’a pas d’extrémité libre, comme une boucle). Certaines créatures marines en forme d’anguille ont la capacité de s’enrouler en nœud, comme le fait la myxine dans la vidéo suivante :

Comme toutes les créatures de MathémAlchimie, Nœud-tie possède des particularités résolument mathématiques. Regardez ses protubérances sur sa colonne vertébrale : 1, puis 1, puis 2, puis 3, puis 5, etc.

Les formes étranges des créatures marines pêchées dans les filets sont appelées « courbes thêta ». Alors qu’un nœud mathématique est un enchevêtrement d’une seule boucle fermée, les courbes thêta sont des enchevêtrements de formes similaires à la lettre grecque thêta (θ), c’est-à-dire une boucle avec un brin supplémentaire reliant deux points de la boucle.

Cette installation présente trois types de courbes thêta, qui sont des variations thêta de trois nœuds simples : le nœud de trèfle, le nœud de huit et le nœud pentacle. Chacun de ces nœuds est converti en courbe thêta par l’ajout d’un seul brin entre deux « lobes » du nœud tel qu’il est traditionnellement dessiné dans le plan. Les couleurs de chaque créature marine illustrent le fait que toute courbe thêta peut être recouverte deux fois par trois nœuds ordinaires. Chaque couleur forme un nœud simple, de sorte que chaque brin de la courbe thêta est recouvert par deux couleurs.

Les paniers en double cône sur le pont du bateau témoignent de la présence de créatures aquatiques qui ne sont que des nœuds simples, mais de diverses sortes !

Outre leur contenu noué, les paniers en double cône du bateau font référence à une autre pépite mathématique. Avec les tonneaux cylindriques et les bouées sphériques, dont les trois versions ont le même diamètre que les paniers, ils illustrent le calcul du volume de la sphère, fait par Archimède. Chaque cylindre a une hauteur égale à son diamètre, ce qui signifie qu’il peut contenir une boule de même diamètre. Comme l’esquisse le montre dans la feuille « Archimède : Volume de la sphère » de la cavalcade, une conséquence du théorème de Pythagore est que le volume d’un tel cylindre est égal à la somme des volumes de la boule inscrite et du double cône inscrit.

La baie regorge d’étoiles de mer, des représentants des échinodermes, le seul embranchement d’animaux qui présente une symétrie radiale quintuple. (Chez les plantes, cette symétrie n’est pas aussi rare). On peut trouver des polyèdres réguliers un peu partout, la plupart étant de Johnson. Pour en savoir plus, référez-vous à la description mathématique du jardin et du récif.

Au bord de la baie, des rouages partiellement endommagés d’une énigmatique mécanique sont visibles. C’est une reproduction de la « machine d’Anticythère », un dispositif mécanique servant à calculer les trajectoires des orbites planétaires, telles qu’elles sont observées depuis la Terre. On a découvert cet artéfact en 1901 dans une épave datant de l’Antiquité grecque. Il illustre une grande maîtrise des calculs astronomiques et des procédés mécaniques, bien au-delà de ce que l’on estimait des connaissances scientifiques des Grecs anciens.

L’étrange système de propulsion du bateau est, pour l’instant, une prouesse technique restreinte au monde de MathémAlchimie – mais peut-être est-il moins ésotérique qu’on ne le pense… En effet, il existe désormais de nouvelles approches pour utiliser l’énergie éolienne sur les bateaux, et pas seulement avec des voiles standards. Dans leur conception, comme dans celle des ailes d’avions modernes, la modélisation mathématique joue un rôle essentiel.