Jardin – Connexions mathématiques

L’histoire

Les tamias jouent à un jeu avec des glands et des tablettes de chiffres babyloniens, tandis que les écureuils discutent des sculptures du jardin. Pendant ce temps, les abeilles et les papillons pollinisent un ensemble coloré de fleurs géométriques.

L’histoire

La baie et les récifs sont peuplés de créatures aquatiques, de coraux hyperboliques et de coquillages polyédriques.

Les écureuils adoptent une approche plus avancée avec leur crible d’Ératosthène.

Ils se rendent d’abord compte qu’en tant que plus petit nombre entier supérieur à 1, le nombre 2 doit être premier. Ensuite , aucun multiple non trivial de 2 ne peut être premier, puisqu’il a 2 comme diviseur. Ils le “filtrent” (avec un crible coloré). Le nombre suivant le plus petit, 3, est toujours blanc lorsqu’ils l’atteignent : il est donc également premier. Ils filtrent maintenant tous ses multiples en les colorant. En montant de plus en plus haut, en sautant les nombres déjà colorés, ils découvrent les nombres premiers un à un, en continuant à éliminer les multiples de chaque nouveau nombre premier. Dans la scène actuelle, les cribles colorés pour 2, 3 et 5 ont été installés, et ceux pour 7 et 11 sont sur le point de l’être. Comme les écureuils ne vérifient que jusqu’à 100 et ont déjà passé au crible tous les nombres de 8 à 10 (la racine carrée de 100), le crible pour 11 n’est en fait pas nécessaire : tous les multiples de 11 inférieurs à 100 auront déjà été filtrés après les tours précédents. À ce moment-là, tous les nombres inférieurs à 100 qui ne sont pas encore colorés sont premiers.

Les pavés marron non uniformes du chemin du jardin représentent le résultat d’une recherche similaire au crible d’Érathostène pour les entiers de Gauss, un analogue complexe des nombres entiers, composé de tous les nombres de la forme m+ni (où i²=-1).

Chaque entier gaussien avec |m| et |n| ne dépassant pas 7 est représenté par un petit carreau sur les dalles au sol, le carreau du centre représentant le cas m=n=0. Une seule des dalles brunes irrégulières présente quatre petits carreaux blancs : ce sont les quatre racines de 1 (soit 1, -1, i et -i). Ces nombres ne sont pas inclus dans notre recherche de nombres premiers gaussiens (à l’instar de 1 qui est exclu de la liste des nombres premiers naturels); ce sont les seuls pour lesquels m²+n²=1. La prochaine valeur supérieure possible de m²+n² est 2, lorsque |m| et |n| sont tous les deux égaux à 1. Il existe quatre entiers de Gauss correspondants, à savoir 1+i et les résultats de la multiplication de 1+i par i, -1 et -i (les autres racines de l’unité), ce qui donne 1-i, -1+i et -1-i. Voici donc les premiers nombres premiers gaussiens que nous avons découverts. Leurs multiples non triviaux sont tous les entiers gaussiens dans lesquels |m|+|n| est pair et différent de 2. La deuxième dalle marron et blanc montre tous ces nombres en blanc, ainsi que le 0 central et les 4 racines de l’unité. Ils ont été “filtrés” ; seuls les carreaux marron restants pourraient être des candidats au statut de nombre premier. (Notez que cela signifie que l’entier 2 a été éliminé : puisque 2=(1+i)(1-i), ce n’est PAS un nombre premier dans les entiers de Gauss !) Ensuite, en cherchant des valeurs plus élevées pour m²+n² parmi les carreaux encore marron, on obtient 2+i (et les résultats de la multiplication avec les racines de l’unité, -1+2i, -2 -i et 1-2i) ainsi que son complexe conjugué, soit 2-i (et 1+2i, -2+i, -1-2i). La troisième dalle , qui n’est pas entièrement marron, conserve tous les carreaux blancs de la dalle précédente. Elle blanchit aussi tous les multiples de 2+i, comme 3+4i=(2+i)2, 5=(2+i)(2-i), qui étaient encore marrons après l’étape précédente. La dalle suivante, qui n’est pas non plus entièrement marron, efface également les multiples de 2-i. Et ainsi de suite… mais, pour nos dalles, rien ne changera après cette étape-ci : le prochain nombre premier est 3, mais tous ses multiples pour lesquels ni |m| ni |n| n’excèdent 7 ont déjà été supprimés. Par conséquent, la cinquième dalle, qui n’est pas entièrement marron, est identique à la quatrième. Le crible pour 3 est superflu à l’échelle que représentent les pavés, tout comme l’était celui pour 11, dans le cas du crible appliqué aux nombres entiers standards de 1 à 100.

Les falaises de Riemann délimitent une partie du jardin. Ce sont des colonnes hexagonales verticales dont le plan est un pavage hexagonal. Les pavages hexagonaux sont une structure naturelle que l’on observe dans de nombreux endroits, comme l’organisation des cellules dans une ruche, par exemple, illustrée au dos du tableau du crible des écureuils.

Cette ruche particulière illustre la nature auto-similaire du pavage hexagonal. Elle présente quatre échelles successives, où chaque échelle plus grande est obtenue en agrandissant d’un facteur √3 une l’échelle inférieure et en la faisant pivoter de 30 degrés. Les centres de toutes les cellules obtenues coïncident alors exactement avec un centre sur trois des cellules de l’étape précédente.

La feuille qui s’est échappée de la cavalcade présente un motif hexagonal qui évoque les premières lignes du triangle de Pascal. Remarquez que les entrées impaires forment un triangle de Sierpinski!

Le jardin et le récif offrent de nombreux exemples de surfaces ondulées qui témoignent de la géométrie hyperbolique, une forme de géométrie non euclidienne. Il existe deux types de géométrie non euclidienne : sphérique et hyperbolique. À l’inverse du plan et de sa géométrie euclidienne, où la somme des trois angles d’un triangle est toujours égale à 180 degrés, sur une sphère (surface à courbure positive constante), les triangles possèdent trois angles dont la somme est supérieure à 180 degrés. [Un triangle est une figure obtenue en allant d’un point A à un autre point B par le chemin le plus court possible, en continuant de la même manière de B à un troisième point C, puis en retournant à A.] L’une des propriétés d’une surface à courbure positive est sa nature non euclidienne. Une autre manière de la détecter est de constater que le périmètre d’un cercle de diamètre donné est inférieur à π fois ce diamètre.

Sur le plan hyperbolique (surface de courbure négative constante), qui a également une géométrie non euclidienne, la situation est inverse du cas sphérique : la somme des trois angles d’un triangle est inférieure à 180 degrés, et la circonférence d’un cercle de diamètre d est supérieure à π fois d. En géométrie sphérique et hyperbolique, le cinquième postulat d’Euclide est contredit : dans le cas sphérique, chaque fois que l’on choisit une ligne de plus court chemin et un point P à l’extérieur de cette ligne, le fait de marcher en ligne droite à partir de P dans n’importe quelle direction conduit finalement à une intersection avec la ligne – il n’existe donc pas de ligne passant par P et parallèle à la ligne originale. Dans le cas hyperbolique, il peut en exister plusieurs, comme l’illustre la grande surface hyperbolique jaune dans le jardin, où les lignes droites sont représentées en rouge, et où l’on peut voir trois lignes distinctes passant par le même point, aucune d’entre elles n’intersectant une autre ligne.

Si on remplace les carrés par des pentagones réguliers modifiés légèrement, courbant leurs côtés et déformant leurs angles jusqu’à ce qu’ils soient des angles droits, on obtient ce tissu-ci. Bien que chaque jonction soit localement plate (parce qu’il s’agit de nouveau de 4 x 90 = 360 degrés), le tissu entier ne peut pas l’être globalement.  Il s’agit encore une fois d’une surface à courbure négative. Pour en savoir davantage sur la géométrie hyperbolique et les surfaces de courbure négative, cliquez ici.

Les surfaces à courbure négative sont très répandues dans la nature, comme sur les récifs coralliens, les champignons, ou, plus près de nous, dans nos intestins. Elles représentent la réponse naturelle pour générer une vaste superficie bidimensionnelle à partir d’un petit espace tridimensionnel.

On trouve de nombreux exemples de polyèdres réguliers dans les scènes du jardin et du récif : on y trouve les solides de Platon et d’Archimède, ainsi que plusieurs des solides de Johnson  (les autres solides de Johnson se trouvent dans d’autres scènes). Pour les solides de Johnson, seules les arêtes sont indiquées. Les solides d’Archimède ont certaines de leurs faces remplies, mais pas toutes. Quant aux 5 solides de Platon, ils ont tous leurs faces remplies.

Le jardin et le récif regorgent également de nombreux objets en origami. L’origami traditionnel commence avec une simple feuille de papier ; en suivant des séquences très précises, impliquant plusieurs actions de pliage, de dépliage et de repliage, on peut réaliser des formes complexes. Plusieurs formes du jardin et du récif (comme les roses) sont des objets en origami. De plus, beaucoup d’autres sont des exemples d’origami modulaire. On commence par découper plusieurs feuilles de papier, puis on les plie chacune en un élément identique. Ensuite, ces éléments sont habilement assemblés pour former des objets complexes et hautement symétriques, qui plaisent à tous ceux qui apprécient les mathématiques ou la symétrie. De plus amples informations sur les liens entre les mathématiques et l’origami sont disponibles ici.